Question

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM = 2:11. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AKM.

Answer 1

Ответ:

1 : 66

Объяснение:

Answer 2

Пусть S1 обозначает площадь треугольника BKP, а S2 - площадь треугольника AKM.

По условию задачи, BK:KM = 2:11. Так как точка K делит медиану BM в отношении 2:11, то можем представить BK и KM как 2x и 11x соответственно, где x - некоторый коэффициент.

Заметим, что треугольники BKP и BAC имеют общую высоту, проведенную из вершины B. Поэтому отношение их площадей равно отношению их оснований:

S1 / S(BAC) = BP / AC.

Треугольники AKM и ABC также имеют общую высоту, проведенную из вершины A. Поэтому отношение их площадей равно отношению их оснований:

S2 / S(ABC) = AM / BC.

Так как треугольник ABC и треугольник BAC имеют одну и ту же высоту, отношение их площадей равно отношению их оснований:

S(ABC) / S(BAC) = BC / AC.

Мы можем переписать это отношение, используя теорему медианы треугольника:

S(ABC) / S(BAC) = 2.

Теперь, используя эти отношения, мы можем связать S1 и S2:

S1 / S2 = (S1 / S(BAC)) / (S2 / S(ABC)) = (BP / AC) / (AM / BC) = (BP / AM) * (BC / AC).

Используя подобные треугольники BKP и AKM, мы можем записать следующее отношение:

BP / AM = BK / KM.

Заметим, что BK / KM = (2x) / (11x) = 2 / 11.

Таким образом, S1 / S2 = (BP / AM) * (BC / AC) = (2 / 11) * (BC / AC) = 2BC / (11AC).

Итак, отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AKM равно 2BC / (11AC).