Question

В треугольнике ABC угол A =106°, бессектрисы углов B и C пересекаются в точке О. Найди угол BOC.

Answer 1

Решение приведено на рисунке

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством бессектрис треугольника. Бессектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

Пусть точка пересечения бессектрис углов B и C обозначена как О. Тогда прямая ОB является бессектрисой угла B, а прямая ОC - бессектрисой угла C.

Так как бессектрисы углов B и C пересекаются в точке О, то отрезок ОB делит сторону AC на две части, пропорциональные другим сторонам треугольника:

AB/BC = AO/OC

Мы знаем, что угол A равен 106°. Также известно, что сумма углов треугольника равна 180°. Значит, угол B + угол C = 180° - угол A = 180° - 106° = 74°.

Теперь найдём отношение длин сторон AB и BC, используя теорему синусов в треугольнике ABC:

AB/BC = sin(B)/sin(C)

AB/BC = sin(74°)/sin(106°)

Применим свойство синуса угла-суммы:

sin(74°) = sin(180° - 106°) = sin(106°)

AB/BC = sin(106°)/sin(106°) = 1

Таким образом, отношение длин сторон AB и BC равно 1.

Из этого следует, что отрезок ОB делит сторону AC пополам: AO = OC.

Так как отрезок ОB делит угол B пополам, а отрезок ОC делит угол C пополам, то угол BOC равен 180°/2 = 90°.

Ответ: угол BOC равен 90°.