Question

Из точки А в окружность с центром О проведены касательные АВ и АС. Докажите, что точка О лежит на биссектрисе угла ВАС.

Answer 1

Прямоугольные треугольники ОВА и ОСА (отрезок ОВ перпендикулярен АВ, а отрезок ОС перпендикулярен АС как радиусы к касательным в точке касания) равны по катету и гипотенузе. Катеты равны как радиусы, а гипотенуза АО - общая. Раз треугольники равны, значит против равных сторон лежат равные углы, то есть угол ОАВ равен углу ОАС, а это значит, что ОА - биссектриса угла ВАС. Итак, точка О лежит на биссектрисе угла ВАС, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что точка О лежит на биссектрисе угла ВАС, нам понадобятся следующие факты и свойства.

1. Если из точки вне окружности проведены касательные к окружности, то они равны по длине.
2. Для точки, лежащей на биссектрисе угла, расстояния от этой точки до сторон угла будут равны.

Теперь рассмотрим данную ситуацию. Проведем радиусы ОВ и ОС из центра окружности О к точкам касания В и С.

Так как ОВ и ОС являются радиусами окружности, то они равны по длине, то есть ОВ = ОС.

Также, по свойству касательных, мы знаем, что АВ = АС.

Из этих двух равенств следует, что ОВ + АВ = ОС + АС.

Распишем это равенство в виде двух равенств:

ОВ + АВ = ОС + АС ОВ + АВ + ОС = ОС + АС + ОВ

Так как ОВ = ОС, то можем записать:

2 * ОВ + АВ = 2 * ОС + АС.

Теперь давайте рассмотрим треугольники ВОА и СОА. Мы знаем, что ОВ = ОС и АВ = АС.

Из равенства 2 * ОВ + АВ = 2 * ОС + АС можно сделать следующий вывод:

2 * ОВ + АВ = 2 * ОС + АС 2 * ОВ + АВ = 2 * ОВ + АС.

Отсюда следует, что АВ = АС, а значит, точка О лежит на биссектрисе угла ВАС.

Таким образом, мы доказали, что точка О лежит на биссектрисе угла ВАС.