Question

высота прямоугольного треугольника,проведеная к гипотенузе делит ее на отрезки длиной 6см. и 24см. Найдите катеты треугольника и высоту

Answer 1

1)высота - перпендикуляр, проведенный из вершины геометрической фигуры. Обозначим её АМ.
BC - гипотенуза треугольника ABC. Численно равна 30.
Пользуясь теоремой Пифагора запишем формулы для каждого из треугольников.

для большого треугольника ABC:
AB^2 + AC^2 = BC^2

для треугольника ABM:
AB^2 = AM^2 + BM^2

для треугольника AMC:
AC^2 = MC^2 + AM^2

подставляем два последних выражения в первое:
AM^2 + BM^2 + MC^2 + AM^2 = BC^2

преобразования:
2AM^2 + (24)^2 + (6)^2 = (30)^2
2AM^2 + 576 +36 = 900
2AM^2 = 288
AM^2 = 144
AM = 12

AB^2 = AM^2 + BM^2
AB^2 = 720
AB = 12*(5)^1/2
это означает 12 умножить на квдратный корень из 5

AC^2 = MC^2 + AM^2
AC^2 = 6*(5)^1/2
это означает 6 умножить на квдратный корень из 5

Answer 2

Пусть катеты треугольника имеют длины a и b, а гипотенуза имеет длину c.

Так как высота треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 6 см и 24 см, то мы можем записать следующие уравнения:

$\frac{a^2}{c} = 6$

$\frac{b^2}{c} = 24$

Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения длины гипотенузы:

$c^2 = a^2 + b^2$

Мы можем решить первые два уравнения относительно a^2 и b^2 соответственно:

$a^2 = 6c$

$b^2 = 24c$

Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение для гипотенузы:

$c^2 = 6c + 24c$

$c^2 = 30c$

$c = 30$

Таким образом, длина гипотенузы равна 30 см.

Мы можем теперь выразить катеты через длину гипотенузы:

$a^2 = 6c = 6\cdot30 = 180$

$a = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$

$b^2 = 24c = 24\cdot30 = 720$

$b = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$

И, наконец, высота треугольника равна:

$h = \frac{2S}{c} = \frac{2\cdot\frac{1}{2}ab}{c} = \frac{ab}{c} = \frac{6\sqrt{5}\cdot12\sqrt{5}}{30} = \frac{6\cdot12\cdot5}{\sqrt{30}\cdot\sqrt{30}} = \frac{360}{30} = 12$

Ответ: катеты треугольника равны 6√5 см и 12√5 см, высота равна 12 см.