Question

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) вписано круг. Через конец диаметра, перпендикулярно к основанию AC, провели касательную, которая пересекает стороны BA и BC в точках K и M соответственно. Найдите периметр четырехугольника AKMC, если периметр треугольника ABC равен 60 см, периметр треугольника BKM равен 20 см, KM: CA = 1 : 3.

Answer 1

Т.к. KM и AC перпендикулярны одному и тому же диаметру окружности, то они параллельны. Следовательно треугольники ABC и ВКМ подобны. Коэффициент подобия найдем из отношения их периметров: k = 60 / 20 = 3

$P_{AKMC}=AK+KM+MC+AC=AB-BK+KM+BC-BM+AC+KM-KM=(AB+BC+AC)-(BK+BM+KM)+2KM=P_{ABC}-P_{BKM}+2KM$

Найдем КМ. Т.к. в четырехугольник AKMC вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

$AK+MC=AC+KM\\AB-BK+BC-BM=AC+KM$

К левой и правым частям добавим AC и вычтем KM:

$AB-BK+BC-BM+AC-KM=AC+KM+AC-KM\\AB+BC+AC-(BK+BM+KM)=2AC\\P_{ABC}-P_{BKM}=2AC\\2AC=40\\AC=20$

Откуда KM = 20 / 3

$P_{AKMC}=P_{ABC}-P_{BKM}+2KM=60-20+\frac{2}{3}*20=\frac{160}{3}$

Answer 2

Пусть x обозначает длину стороны треугольника ABC (AB = BC = x).

Из условия периметра треугольника ABC равного 60 см, получаем: 2x + AC = 60 AC = 60 - 2x

Также из условия KM:CA = 1:3, получаем: KM/CA = 1/3 KM = (1/3) * AC KM = (1/3) * (60 - 2x) KM = 20 - (2/3)x

Периметр треугольника BKM равен 20 см, поэтому: BK + KM + BM = 20 BK + 20 - (2/3)x + BM = 20 BK + BM = (2/3)x

Поскольку треугольник АВС равнобедренный, проведенная касательная к его вписанному кругу будет делить основание АС пополам: AK = KC

Теперь можем выразить периметр четырехугольника AKMC: Периметр AKMC = AK + KC + KM + MC Периметр AKMC = 2AK + KM + MC

Из равенства BK + BM = (2/3)x можно заметить, что (2/3)x равно периметру треугольника BKM, который равен 20 см. Таким образом, (2/3)x = 20 x = (3/2) * 20 x = 30

Теперь можем вычислить KM: KM = 20 - (2/3)x KM = 20 - (2/3) * 30 KM = 20 - 20 KM = 0

Заметим, что KM = 0, что означает, что касательная проходит через вершину С треугольника ABC.

Таким образом, периметр четырехугольника AKMC равен: Периметр AKMC = 2AK + KM + MC Периметр AKMC = 2AK + MC

Так как KM = 0, получаем: Периметр AKMC = 2AK + MC

Так как AK = KC, получаем: Периметр AKMC = 2KC + MC

Но мы знаем, что AC = 60 - 2x = 60 - 2 * 30 = 0 Таким образом, MC = AC - AM = 0 - x = -30

Теперь можем вычислить периметр AKMC: Периметр AKMC = 2KC + MC Периметр AKMC = 2KC - 30

Так как треугольник АВС равнобедренный, можно рассмотреть прямоугольный треугольник AKC с гипотенузой AC и катетом AK. Заметим, что BK является половиной гипотенузы AC, поэтому BK = 0.5 * AC =