Question

найдите углы прямоугольного треугольника, если его высота, проведенная из вершины прямого угла, образует с катетом угол 50 °​

Answer 1

| способ, см. вложение 1.

ΔАВЕ: ∠Е=90°; ∠А=50°; ∠В=90°-50°=40°

ΔАЕС: ∠Е=90°; ∠А=90°-50°=40°; ∠С=90°-40°=50°

Ответ: 90°; 50°; 40°.

|| способ, см. вложение 2.

ΔАЕС: ∠Е=90°; ∠А=50°; ∠С=90°-50°=40°

ΔАВЕ: ∠Е=90°; ∠А=90°-50°=40°; ∠В=90°-40°=50°

Ответ: 90°; 40°; 50°.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах (теорема Пифагора).

Пусть угол между высотой треугольника и одним из катетов равен 50°. Обозначим этот катет через a, а второй катет через b.

Так как треугольник прямоугольный, то применяя теорему Пифагора, получаем: a^2 + b^2 = c^2, где c - гипотенуза треугольника.

Высота, проведенная из вершины прямого угла, разделяет исходный треугольник на два подобных треугольника, поскольку угол между высотой и гипотенузой равен 90°. Таким образом, мы можем записать пропорцию: a/b = b/c.

Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из теоремы Пифагора и пропорции:

1. a^2 + b^2 = c^2,
2. a/b = b/c.

Для удобства решения, введем новую переменную x = b/a. Тогда можем переписать уравнения:

1. 1 + x^2 = (1 + x^2)/c^2,
2. x = c/b.

Решим уравнение (1) относительно x: 1 + x^2 = (1 + x^2)/c^2, c^2 + x^2 * c^2 = 1 + x^2, c^2 * (1 - x^2) = 1 - x^2, c^2 = 1.

Таким образом, получаем, что c = 1. Значит, гипотенуза равна 1.

Используя уравнение (2), получаем: x = c/b, 1/x = b/1, x = b.

Таким образом, получаем, что b = x = 1.

Теперь мы можем найти значение углов треугольника. Угол между гипотенузой и катетом равен 90°. Угол между гипотенузой и высотой равен 50° (дано в условии). Значит, оставшийся угол будет равен: Угол = 180° - 90° - 50° = 40°.

Таким образом, углы прямоугольного треугольника равны: 90°, 40° и 50°.