Question

Помогите доказать эти тождестваsin (90°- α)=cos α; cos (90°- α)=sin α;

Answer 1

$sin(a-b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a)\\cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)\\sin(90-a) = sin(90)cos(a) - sin(a)cos(90) = 1 * cos(a) - sin(a) * 0 = cos(a)\\cos(90-a) = cos(90)cos(a) + sin(90)sin(a) = 0*cos(a) + 1 * sin(a) = sin(a)$

Answer 2

Давайте докажем эти тождества с помощью геометрической интерпретации и тригонометрических соотношений.

1. Тождество: sin(90° - α) = cos α

Для доказательства этого тождества представим угол (90° - α) геометрически. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол BAC = 90° и угол BCA = α.

perlCopy code
       A
       |\
       | \
       |  \
       |   \
       |    \
       |     \
       |α    \
       |     /
       |    /
       |   /
       |  /
       | /
       |/
       B

Теперь рассмотрим отношение противолежащего катета к гипотенузе в этом треугольнике: sin α = BC / AC

Заметим, что BC является противолежащим катетом в прямоугольном треугольнике A'BC', где угол A'BC' = 90° - α. Таким образом, мы можем переписать это отношение как: sin(90° - α) = BC' / AC'

Теперь обратим внимание на треугольник ABC и треугольник AC'B. Они подобны, так как у них один общий угол (90°) и угол BAC' = α. Значит, их соответствующие стороны пропорциональны: BC' / AC' = AC / BC

Подставляя это в предыдущее равенство, получаем: sin(90° - α) = AC / BC = cos α

Таким образом, мы доказали, что sin(90° - α) = cos α.

2. Тождество: cos(90° - α) = sin α

Аналогично предыдущему доказательству, рассмотрим треугольник ABC, где угол BAC = 90° и угол BCA = α.

perlCopy code
       A
       |\
       | \
       |  \
       |   \
       |    \
       |     \
       |α    \
       |     /
       |    /
       |   /
       |  /
       | /
       |/
       B

Теперь рассмотрим отношение прилежащего катета к гипотенузе в этом треугольнике: cos α = AB / AC

Заметим, что AB является прилежащим катетом в прямоугольном треугольнике A'BC', где угол A'BC' = 90° - α. Таким образом, мы можем переписать это отношение как: cos(90° - α) = AB' / AC'

Аналогично преды