Question

Радіус кола, вписаного у правильний многокутник дорівнює 4 корінь з 3 см ,а радіус кола ,описаного навколо нього 8 см.Знайти кількість сторін многокутника та довжину його сторони.

Answer 1

Пишу на русском. Не знаю украинска мова.

Заметим, что  $r=R*\cos\frac{180^0}{N}$

$r=R*\cos\frac{\pi}{N}\,(*)$

Здесь r - радиус вписанной окружности и 

R - радиус описанной окружности.

N - количество углов в правильном многоугольнике.

Подставим  в (*) r=4√3 и R=8.

$4\sqrt{3}=8*\cos\frac{\pi}{N}$

$\cos\frac{\pi}{N}= \frac{4\sqrt{3}}{8}$

$\cos\frac{\pi}{N}= \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\pi}{N}= \frac{\pi}{6}$

N=6 - правильный шестиугольник

Ответ: правильный шестиугольник.

Answer 2

Назвемо радіус вписаного кола r, а радіус описаного кола R. Відомо, що радіус вписаного кола є половиною довжини сторони многокутника, тому сторона многокутника дорівнює 2r. Також, радіус описаного кола пов'язаний з радіусом вписаного кола за формулою:

R = 2r/(√3 - 1)

За даними, R = 8 см, отже маємо:

8 = 2r/(√3 - 1)

Потрібно знайти значення r і використати його для знаходження кількості сторін многокутника та довжини його сторони.

Розв'яжемо рівняння для r:

8(√3 - 1) = 2r

8√3 - 8 = 2r

2r = 8√3 - 8

r = 4√3 - 4

Тепер, щоб знайти кількість сторін многокутника, ми можемо скористатися формулою:

Кількість сторін = 360° / (180° - внутрішній кут)

Внутрішній кут можна знайти, використовуючи теорему про суму внутрішніх кутів многокутника:

Внутрішній кут = (n - 2) * 180° / n, де n - кількість сторін многокутника

Підставимо вираз для внутрішнього кута в формулу кількості сторін:

Кількість сторін = 360° / (180° - (n - 2) * 180° / n)

Замість n підставимо значення, яке будемо шукати:

Кількість сторін = 360° / (180° - (n - 2) * 180° / n)

Розв'яжемо це рівняння числовими методами або за допомогою комп'ютера. Зауважимо, що многокутник є правильним, тому всі його сторони та кути рівні між собою.

Отже, ми знайшли радіус вписаного кола r = 4√3 - 4 см. Щоб знайти довжину сторони многокутника, помножимо радіус на 2