Question

1. ABCD- ромб, BEK- равносторонний треугольник , причем AB=BE=a.угол BAD=30. Найдите угол между плоскостями ромба и треугольника , если EK параллельна AD и расстояние между этими прямыми (корень из7/2)а. 2. ABCd- равнобедренная трапеция, ad параллельно bc причем BC=2,AD=5,

Answer 1

------- 1 -------  
Дано ABCD ромб,AB=a, AE=AB=EK=KB ,∠BAD =30°,EK||AD,
расстояние между прямыми EK и AD: d(EK ,AD) =(7√a)/2.
---
α=( (ABCD) ,(BEK)) -? 
(угол между плоскостями ромба ABCD и треугольника BEK).

Проведем BM⊥EK и BN ⊥ AD ⇒BM=a(√3)/2 ,BN=AB/2 =a/2.
α=∠MBK _ искомый угол .

По теореме косинусов из ΔMBN  :
(a(√7)/2√)² = (a(√3)/2)²+(a/2)²-2*a(√3)/2*(a/2)*cosα ⇒
cosα = (-√3)/2 ⇒ α = 150°.
------- 2 -------
Дано: равнобедренная трапеция AB=CD, BC||AD, BC=2 см ,
AD=5 см, ∠BAD =45°, α= ∠ ((ABCD) , (BCK)) =60° (угол между плоскостями (ABCD) и (BCK) равно 60°) ,BK =√3 см ,CK =1 см.
----
x=d(K ,AD) -?

По обратной теореме Пифагора заключаем ,что  ΔBKC -прямоугольный  (BK²+KC² =BC² ≡(√3)²+1² =2²) ,∠BKC=90°.Проведем
высоту КН ⊥BC и из полученной точки  Н высоту EН трапеции.

S(ΔBKC) =(1/2)*BK*CK =(1/2)*BC*KH⇒KH =√3/2 (см) .
Просто найти высоту  трапеции EН =(AD -BC)/2=3/2 (см),  т.к. ∠BAD=45°.
x² =KH² +EН² -2*KH*EН*cosα =(√3/2)²+(3/2)² -2*(√3/2)*(3/2)*(1/2)=
=(12-3√3)/4⇒x =(√(12-3√3)/)2 .