Question

В треугольнике ABC AC = 6, высота BH = 6 ( Точка H лежит на отрезке AC), AH=2HC, M - середина AB, Р - середина BC. Точки К и Т лежат на стороне АС так, что углы KMP и MPT - прямые. Отрезки AP и BH пересекаются в точке Q Найдите: a) длину отрезка МК б) величину угла между прямыми KP и MT в) отношение AQ : QP ДАЮ 75 БАЛЛОВ, СРОЧНО С объяснением и рисунком позяяяя :) ( Насколько я знаю, через т.Фалеса надо делать, но это не точно)

Answer 1

АС=6, ВН=6, АН=4, НС=2 (дано).
МР=3 (средняя линия треугольника АВС).
АК=КН=2(МК - средняя линия треугольника АВН).
НТ=ТС=1 (РТ - средняя линия треугольника ВСН).
а) МК=0,5*ВН =3 (МК - средняя линия треугольника АВН).
б) <PMT=45° (так как в прямоугольном треугольнике МРТ катеты равны).
в) AQ:QP=AH:HT (по теореме Фалеса) AQ:QP=4:1=4.
Ответ: МК=3, <PMT=45°, AQ:QP=4:1.

Answer 2

Давайте решим поставленную задачу шаг за шагом.

1. Найдем длину отрезка МК: Так как точки М и Р являются серединами сторон AB и BC соответственно, то отрезок МР параллелен стороне AC и равен половине ее длины. Таким образом, МР = AC / 2 = 6 / 2 = 3.

Поскольку углы KMP и MPT прямые, то треугольники KMP и MPT подобны по прямому углу.

2. Найдем величину угла между прямыми KP и MT: Из подобия треугольников KMP и MPT следует, что соответственные стороны пропорциональны. Так как отрезок МР является стороной обоих треугольников, то отношение сторон KP и MT будет равно отношению сторон KM и MP: KP / MT = KM / MP.

Известно, что треугольник ABC - прямоугольный, поэтому сторона BC является гипотенузой. Разделим BC пополам, получим отрезок PC, который будет равен половине гипотенузы BC: PC = BC / 2 = 6 / 2 = 3.

Теперь можно выразить отношение KM / MP: KM / MP = KP / MT = (KP + PC) / (MT + PC) = (KP + 3) / (MT + 3).

3. Найдем отношение AQ : QP: Поскольку отрезки AP и BH пересекаются в точке Q, то отношение AQ : QP будет равно отношению площадей треугольников APQ и BQP.

Так как треугольники APQ и BQP имеют общую высоту QH, то отношение их площадей будет равно отношению длин баз этих треугольников: AQ / QP = S(APQ) / S(BQP) = AP / BP.

Осталось выразить отношение AP / BP через известные данные.

Из условия задачи дано, что AH = 2HC, а также BH = 6. Поделим треугольник AHB на два подобных треугольника: AHP и BHP, используя теорему Фалеса. Получим: AH / BH = HP / BP, 2HC / 6 = HP / BP, HP = 2/3 BP.

Теперь рассмотрим треугольники APH и BPH. У них общий угол P, поэтому они подобны. Из подобия следует: AP / BP = AH / HP = 2