Question

К окружности с центром в точке О проведены через точку B касательная AB и AC (A и C точки касания.) окружность пересекает отрезок ОB в точке Т угол АТО равно 60 градусов Докажите что точка Т является точкой пересечения биссектрисы треугольника ABC

Answer 1

Task/25981561
--------------------
см приложение 

можно  разными способами 

Answer 2

Для доказательства этого факта нам понадобятся некоторые геометрические свойства.

Поскольку AB и AC - касательные к окружности, мы можем сказать, что ∠OAB и ∠OAC являются прямыми углами, поскольку они являются углами между радиусами и касательными линиями в точках касания.

Также дано, что ∠ATO = 60 градусов. Мы хотим доказать, что Т лежит на биссектрисе угла BAC.

Пусть M будет точкой пересечения биссектрисы угла BAC и окружности. Мы должны показать, что Т и М совпадают.

Поскольку OM является радиусом окружности, то OM = OM, что означает, что точка М лежит на окружности.

Также известно, что ∠OAB и ∠OAC являются прямыми углами, поэтому ∠BAM = ∠MAC (по свойству биссектрисы угла).

Таким образом, у нас есть два равных угла: ∠BAM и ∠MAC. Также ∠BMT = ∠MCT, поскольку это соответственные углы, опирающиеся на дугу BM и MC окружности.

Теперь давайте рассмотрим треугольники BMT и CMT. У них есть два равных угла (углы при M), и у них также есть общий угол ∠MTB = ∠MTC, так как они опираются на равные дуги окружности.

Поэтому треугольники BMT и CMT равны по двум углам и общей стороне MT. Следовательно, по критерию равенства треугольников, мы можем сказать, что BT = CT.

Таким образом, точка Т совпадает с точкой пересечения биссектрисы угла BAC, и это доказывает, что Т является точкой пересечения биссектрисы треугольника ABC.