Question

Отрезок КА – перпендикуляр к плоскости АВС. Точка М - середина ВС. КМ перпендикулярно ВС. АВ=ВС а) Докажите, что треугольник АВС - равносторонний. б) Докажите перпендикулярность плоскостей КВС и КАМ. в) Найдите площадь треугольника АВС, если ВК=8, КА=√39, ВС=6.

Answer 1

КМ-высота, мед => треуг ВКС-равнобедрен (по теор о равноб треугольн) =>уголКВС=уголВСК=60
М-сер стор ВС=>ВМ=МС=3;
МК=МС*тангенс60=3√3(по соотношению углов в прямоуг треуг) ;
АМ=3(по теореме Пиф) расписать не могла - квадраты здесь не ставятся, можно по электронке там точнее будет;
КС=6 (по теореме косинусов) ;
АС=3 корень из2;
АВ=3 корень из2;=>треугАВС - равнобедрен=>АМ - медиана, высота (по теорем о равноб треуг) ;
АМ перпендик ВС
АМ принадл плКАМ; КМ принадл плВКС следовательно плоскасти перпендикул;
площадь треугольник АСВ=АМ*ВМ=3*3=9

Answer 2

а) Для доказательства равносторонности треугольника АВС необходимо показать, что его стороны АВ, ВС и СА равны между собой. Из условия задачи известно, что АВ = ВС, поэтому достаточно доказать, что СА = АВ.

Рассмотрим треугольник КМВ. Так как точка М - середина ВС, то КМ является медианой треугольника ВС, и она делит ее пополам. Значит, ВК = КМ = 8/2 = 4. Также из условия КМ перпендикулярна ВС следует, что угол КВМ прямой.

Рассмотрим теперь треугольник АКМ. Из условия задачи известно, что КА = √39. Также, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике КВМ с гипотенузой КВ и катетами КМ и ВК имеем:

КМ² + ВК² = КВ²

4² + КМ² = ВС²

КМ² = ВС² - 4²

КМ² = 20

КМ = √20 = 2√5

Теперь найдем длину отрезка АМ. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике АКМ:

АМ² + КМ² = АК²

АМ² + 20 = 39

АМ² = 19

АМ = √19

Таким образом, в треугольнике АВС имеем:

АВ = ВС (из условия)

АМ = √19 (выше)

СК = КА = √39 (из условия)

Из этого следует, что треугольник АВС равносторонний.

б) Рассмотрим плоскости КВС и КАМ. Они пересекаются по прямой КМ, которая является общей для них. Также из условия задачи следует, что отрезок КА перпендикулярен плоскости АВС. Значит, КА перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости АВС, в том числе и прямой КМ. Таким образом, отрезок КА перпендикулярен и плоскости КВС.

в) Найдем площадь треугольника АВС. Так как треугольник равносторонний, то его высота, проведенная из вершины А, будет также являться медианой и биссектрис