Question

каждая из диагоналей выауклого четырехугольника делит его площадь пополам. Докажите, что этот четырехугольник- параллелограмм.

Answer 1

...............................................................................................................

Answer 2

Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник, в котором каждая из диагоналей делит его площадь пополам.

Для доказательства, что ABCD является параллелограммом, мы рассмотрим два треугольника: ABD и BCD.

По условию, каждая из диагоналей делит площадь четырехугольника на две равные части. Поэтому площадь треугольника ABD равна площади треугольника BCD.

Мы знаем, что площадь треугольника вычисляется как половина произведения его основания и высоты, то есть:

Площадь ABD = (AB * h1) / 2, Площадь BCD = (BC * h2) / 2,

где h1 и h2 - высоты треугольников ABD и BCD соответственно.

Так как площади треугольников равны, мы можем записать:

(AB * h1) / 2 = (BC * h2) / 2.

Поскольку h1 и h2 положительны и не равны нулю, мы можем сократить общий множитель 1/2:

AB * h1 = BC * h2.

Теперь рассмотрим два случая:

1. AB = BC:

Если AB равно BC, то получаем AB * h1 = BC * h2, что означает, что высоты h1 и h2 равны. Это значит, что треугольники ABD и BCD имеют одинаковые высоты, а значит, их основания AD и DC тоже равны. Таким образом, мы имеем AB = BC и AD = DC, что означает, что ABCD является параллелограммом.

2. AB ≠ BC:

Если AB не равно BC, то уравнение AB * h1 = BC * h2 означает, что высоты h1 и h2 также не равны. Однако, так как площади треугольников равны, их основания AD и DC должны быть пропорциональны высотам. То есть, AD/DC = h1/h2.

Так как мы знаем, что AB ≠ BC, то треугольники ABD и BCD не равносторонние, и их высоты лежат на разных сторонах от основания.

Из этого следует, что AD/DC ≠ 1, а значит, AD и DC не равны. Таким образом, у нас есть параллельные стороны AD и BC с равными пропорциональными высотами, что делает ABCD параллелограммом.

Таким образом