Question

на стороне ВС остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена полуокружность, пересекаются высоту АD в точке М, АD=75, MD=60, H-точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите HD.

Answer 1

На стороне ВС остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту АD в точке М, АD=75, MD=60, H-точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите HD.

РЕШЕНИЕ:

• АМ = АD - MD = 75 - 60 = 15
AK = AM + MD + DK = 15 + 60 + 60 = 135
• По свойству секущих:
АЕ • АС = АМ • АК = 15 • 135
• тр. АНЕ подобен тр. АСD по двум углам ( угол А - общий , угол АЕН = угол ADC = 90° )
Составим отношения сходственных сторон:
АЕ/АD = AH/AC = HE/CD , отсюда
AE/AD = AH/AC
AE • AC = AD • AH =>

AH = AE • AC / AD = 15 • 135 / 75 = 27

HD = AD - AH = 75 - 27 = 48


ОТВЕТ: 45.

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится применить теорему Пифагора в треугольнике AMD.

Известно, что AD = 75 и MD = 60. Мы хотим найти HD.

Пусть HD = x.

Так как HD является частью высоты треугольника ABC, то точка H делит AD в отношении HD:DA = x:(75 - x).

Используем подобие треугольников AMD и ABC.

По теореме Пифагора в треугольнике AMD: AM² + MD² = AD²

Перепишем это уравнение, заменив известные значения: AM² + 60² = 75²

AM² = 75² - 60² AM² = 5625 - 3600 AM² = 2025 AM = √2025 AM = 45

Теперь мы можем использовать подобие треугольников, чтобы выразить AD через HD и решить уравнение.

AM/AB = MD/HD

Подставим известные значения: 45/AB = 60/x

Перекрестное умножение: 45x = 60AB

Также мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике AHB: AB² + BH² = AH²

AB является диаметром полуокружности, поэтому AB равно 2R, где R - радиус полуокружности. Мы можем найти радиус, используя соотношение радиуса и диаметра в остроугольном треугольнике: AB = 2R AB = 2(√3)R AB = 2√3R

Теперь мы можем переписать уравнение: (2√3R)² + BH² = AH²

12R² + BH² = AH²

Так как HD = AH - AD, то AH = HD + AD. Подставим это значение в уравнение: 12R² + BH² = (HD + AD)²

12R² + BH² = (HD + 75)²

Теперь мы можем выразить BH через HD и решить уравнение.

Перепишем уравнение AM/AB = MD/HD, заменив AB на 2√3R: 45/(2√3R) = 60/x

Перекрестное умножение: 45x = 120√3R

x = (120√3R)/45 x = (8√3R)/3

Теперь мы можем подставить значение HD в уравнение: 12R² + BH² = (HD + 75)²

12R² + BH² = ((8√3R)/3 + 75)²

Так как мы не знаем значение R, мы не можем решить окончательное уравнение. Однако