Question

высота CD прямоугольного треугольника ABC делит гипотенузу AB на части AD=16 см,BD=9см.Доказать что треугольник ABC подобен треугольнику CBD и найти высоту CD

Answer 1

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
∠СВА + ∠САВ = 90° и
∠СВА + ∠ВСD = 90° (из ΔBCD), значит
∠САВ = ∠BCD, и ∠CDA = ∠BDC = 90°, ⇒
ΔCDA подобен ΔBDC по двум углам.

CD : AD = BD : CD
CD² = AD · BD = 16 · 9 = 144
CD = 12 см

Answer 2

Чтобы доказать подобие треугольников ABC и CBD, нам нужно показать, что они имеют две пары равных углов и соответственные стороны пропорциональны.

Первым шагом найдем высоту треугольника ABC, которая является перпендикуляром, опущенным из вершины C на гипотенузу AB. Обозначим эту высоту как CE.

Поскольку треугольник ABC является прямоугольным, то можно применить теорему Пифагора: AB² = AC² + BC²

Заменим AC и BC на выражения с использованием отношения расстояний на гипотенузе AB: AB² = (AD + DC)² + (BD + DC)²

Подставим известные значения AD = 16 см и BD = 9 см: AB² = (16 + DC)² + (9 + DC)²

Раскроем скобки: AB² = (256 + 32DC + DC²) + (81 + 18DC + DC²)

Суммируем подобные члены: AB² = 337 + 50DC + 2DC²

Теперь вспомним, что высота CE разделяет гипотенузу AB на две части, которые мы обозначили как AD и BD. Таким образом, мы можем записать уравнение, используя соотношение треугольников ACD и BCD: AD/BD = CE/CD

Подставим известные значения AD = 16 см и BD = 9 см: 16/9 = CE/CD

Теперь мы имеем два уравнения, связывающих AB, CE и CD. Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значение CD.

Выразим CE из второго уравнения: CE = (16/9)CD

Подставим это значение в первое уравнение: AB² = 337 + 50(16/9)CD + 2(16/9)²CD²

Для удобства заменим AB² на (AD + BD)²: (16 + 9)² = 337 + 50(16/9)CD + 2(16/9)²CD²

Упростим выражение: 625 = 337 + (800/9)CD + (64/9)CD²

Перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю: 0 = (64/9)CD² + (800/9)CD - 288

Умножим каждый член на 9 для избавления от дробей: 0 = 64CD² + 800CD - 2592

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, использу