Question

Найдите двугранный угол, грани которого содержат две боковые грани правильной четырехугольной пирамиды, длина бокового ребра которой равна 3 см, а стороны основания — 2√3 см.

Answer 1

Дана  правильная четырехугольная пирамида SАВСД, длина бокового ребра которой равна L = 3 см, а стороны основания a =  2√3 см.

Проведём осевое сечение через 2 боковых ребра.
В сечении равнобедренный треугольник АSС с боковыми сторонами L = 3 см и основанием - диагональ квадрата основания d = a√2 = (2√3)*√3 = 2√6 см.
Высота Н пирамиды равна:
Н = √(L² - (d/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.
Перпендикуляр из центра основания пирамиды на боковое ребро (пусть это ОК) - это высота треугольника ОSС, она равна (√3*√6)/3 = √2 см.

Искомый угол лежит в перпендикулярном сечении к боковому ребру.
В сечении - треугольник ВКД.
Апофема А = √(3² - (2√3/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.
КД - высота, она равна 2S/L = (2*((1/2)*2√3*√6))/3 = 2√2 см.
То есть она как гипотенуза треугольника ОКД в 2 раза больше катета ОК, а угол КДО равен 30 градусов.
Отсюда искомый угол ВКД равен 2*60 = 120 градусов.

Answer 2

Для нахождения двугранного угла в данной задаче, мы можем использовать знание о свойствах правильной четырехугольной пирамиды.

Правильная четырехугольная пирамида имеет основание, состоящее из равностороннего четырехугольника. В нашем случае, сторона основания равна 2√3 см.

Боковые грани пирамиды являются равнобедренными треугольниками, где боковое ребро равно 3 см.

Чтобы найти двугранный угол, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Пусть A, B и C - вершины треугольника, где AB и AC - боковые ребра, а BC - основание. Пусть α - искомый двугранный угол.

Используя теорему косинусов для треугольника ABC, мы можем записать:

AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(α)

Заменим известные значения:

3² = 2√3² + (2√3)² - 2 * 2√3 * 2√3 * cos(α)

9 = 12 + 12 - 12 * cos(α)

12 * cos(α) = 12

cos(α) = 1

Теперь мы можем найти значение угла α, взяв арккосинус от 1:

α = arccos(1) = 0°

Таким образом, двугранный угол в данной пирамиде равен 0°.