Question

Решите и объясните, а то не врубился;) В параллелограмме ABCD отмечены середины E и F его чторон AD и BC соответственно. Проведены отрезки BE и DF. Докажите, что эти отрезки делял диагональ AC на три равные части.

Answer 1

  Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. Точки Е и F – середины равных сторон. ⇒ ВЕ=FD ⇒ FBED параллелограмм, поэтому ВF║ED ⇒  

 В ∆ АМD отрезок КF - средняя линия и делит АМ на АК=КМ.

Аналогично в ∆ ВКС отрезок ЕМ - средняя линия и делит СК на СМ=МК.

  Из равенств АК=КМ и СМ=КМ следует равенство АК=СМ, откуда АК=КМ=СМ.  Доказано.

Answer 2

Для доказательства того, что отрезки BE и DF делят диагональ AC на три равные части, мы можем использовать свойства параллелограмма и свойства серединных перпендикуляров.

Поскольку E и F - середины сторон AD и BC соответственно, отрезки BE и DF делят эти стороны пополам. Это означает, что BE = AE и DF = CF.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. Поскольку AD || BC (поскольку ABCD - параллелограмм), мы можем использовать свойство параллельных линий, чтобы сказать, что треугольник ABC является подобным треугольнику CDA.

Так как E и F - середины сторон AD и BC, соответственно, то отрезки CE и AF являются серединными перпендикулярами для сторон AB и CD соответственно. Следовательно, по свойству серединных перпендикуляров, отрезки CE и AF также делят эти стороны пополам.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ADC. По тем же самым причинам, треугольник ADC также является подобным треугольнику CAB.

Таким образом, у нас есть два подобных треугольника: ABC и CDA. Отрезок AC является общей стороной для этих треугольников.

Из подобия треугольников ABC и CDA следует, что отношение длин отрезков AC к AB и CD одинаково. Но мы уже знаем, что отрезки CE и AF делят стороны AB и CD пополам, соответственно.

Следовательно, поскольку отрезки CE и AF делят стороны AB и CD пополам, и отношение длины AC к AB и CD одинаково, мы можем заключить, что отрезки BE и DF также делят диагональ AC на три равные части.

Таким образом, отрезки BE и DF, проведенные через середины сторон параллелограмма ABCD, делят диагональ AC на три равные части.