Question

В треугольнике ABC известны стороны AB=15, AC=16, BC=20. В нём проведены биссектрисы BB1 и CC1. Прямые B1C1 и BC пересекаются в точке X. Найдите BX:XC.

Answer 1

По теореме Минелая:

$\dfrac{BX}{XC} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} \cdot \dfrac{AC_1}{C_1B} =1$

Откуда $\dfrac{BX}{XC} =\dfrac{C_1B}{AC_1} \cdot \dfrac{B_1A}{CB_1}$

Биссектриса треугольника делит противолежащею сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому

$\dfrac{C_1B}{AC_1} =\dfrac{BC}{AC} =\dfrac{20}{16}=\dfrac54$

И таким же образом

$\dfrac{B_1A}{CB_1} =\dfrac{AB}{BC} =\dfrac{15}{20} =\dfrac34$

$\displaystyle \dfrac{BX}{XC} =\dfrac54 \cdot \dfrac34 =\dfrac{15}{16} =\\\\=1-\dfrac1{16} =1-0,\!0625=0,\!9375$

Ответ: 0,9375.

Answer 2

Чтобы найти отношение BX:XC, нам понадобится использовать теорему биссектрисы. Согласно этой теореме, отношение длин отрезков, образованных биссектрисой, равно отношению длин сторон треугольника, соответствующих этим отрезкам.

Пусть BX представляет собой отрезок, образованный биссектрисой BB1, а XC - отрезок, образованный биссектрисой CC1. Тогда мы можем записать следующее уравнение, используя теорему биссектрисы:

BX/XC = AB/AC

Подставляя известные значения, получаем:

BX/XC = 15/16

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти отношение BX:XC. Умножим обе части уравнения на XC:

BX = (15/16) * XC

Таким образом, отношение BX:XC равно 15/16 или 15:16.