Question

Два конуса имеют общую высоту длины Н и параллельно расположенные основания. Образующая одного конуса наклонена к плоскости его основания под углом α, другой- β. Найдите длину линий, по которой пересекаются боковые поверхности.

Answer 1

Задача, на самом деле, плоская. Надо найти расстояние от точки пересечения двух образующих (разных конусов) до высоты - оси конусов. Это будет радиус окружности, длину которой надо найти. В осевом сечении получается фигура, похожая на 4-конечную звезду, если "смотреть" на её "правую" от оси-высоты часть (или левую, кому как нравится), то получилось два прямоугольных треугольника с общим катетом, у которых гипотенузы образуют с ДРУГИМИ катетами углы α и  β; надо найти расстояние от точки пересечения гипотенуз до общего катета. 
Если опустить из этой точки пересечения перпендикуляр на общий катет (длину этого перпендикуляра r и надо найти) то ПУСТЬ он разделит катет длины H на отрезки x и y; тогда
х + y = H;
r = x*tg(90 - α);
r = y*tg(90 -  β);
откуда все легко находится. Пусть k = tg(α)/tg(β)
x = y*k; H = y*(1 + k); y = H/(1 + k); ну и подставить в r = y/tg(β)
r = H/(tg(α) + tg(β));
Длина окружности получается умножением на 2 π.

Answer 2

Пусть R1 и R2 обозначают радиусы оснований первого и второго конусов соответственно.

Так как основания конусов параллельны и находятся на одной высоте, можно построить прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC соответствуют образующим первого и второго конусов, а AC - общей высоте H.

Требуется найти длину линии, по которой пересекаются боковые поверхности конусов. Данная линия представляет собой длину отрезка CD, где C - точка пересечения боковых поверхностей, а D - точка на основании первого конуса.

Для нахождения CD, можно воспользоваться теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AB = R1 BC = R2 AC = H

Также, из геометрии конусов известно следующее:

tan(α) = AB / AC tan(β) = BC / AC

Отсюда получаем:

AB = tan(α) * AC BC = tan(β) * AC

Теперь можно подставить значения AB и BC в формулу теоремы Пифагора:

H^2 = (tan(α) * AC)^2 + (tan(β) * AC)^2

H^2 = AC^2 * (tan^2(α) + tan^2(β))

AC^2 = H^2 / (tan^2(α) + tan^2(β))

AC = sqrt(H^2 / (tan^2(α) + tan^2(β)))

Таким образом, длина линии, по которой пересекаются боковые поверхности конусов, равна AC.

Пожалуйста, укажите значения углов α и β, а также высоты H и я посчитаю результат для вас.