Question

Через вершину А прямоугольника ABCD провединна прямая AK перпендикулярная плоскости прямоугольника ABCD . Известно что KD = 6 cм KB = 7см KC = 9 см .Найти расстояние от К до плоскости ABCD и расстояние между АК и CD .

Answer 1

В основании прямоугольник. В прямоугольнике все углы прямые.
AB⊥BC
АВ- проецкия наклонной КВ.По теореме о трёх перпендикулярах КВ⊥ВС.
Значит треугольник КВС - прямоугольный
По теореме Пифагора
ВС²=КС²-КВ²=9²-7²=32
ВС=√32=4√2
Противоположные стороны прямоугольника равны, значит АD=BC=4√2

Треугольник АКD - прямоугольный. ( АК⊥ плоскости АВСD, а значит перпендикуляр любой прямой , лежащей в этой плоскости)
По теореме Пифагора
AK² = KD²- AD²=6²-(4√2)²=36-32=4
AK=2
Расстоянием между скрещивающимися прямыми
АК и СD будет расстояние между плоскостями АКВ и плоскостью, параллельной этой плоскости и проходящей через CD.
Это расстояние равно AD
ответ. АК =2 см, АD= 4√2 cv

Answer 2

Для решения задачи, введем координатную систему, в которой плоскость ABCD будет лежать в плоскости XY, а прямая AK будет перпендикулярна этой плоскости и проходить через начало координат.

Так как AK перпендикулярна плоскости ABCD, она будет параллельна вектору нормали к этой плоскости. Найдем этот вектор нормали.

Вектор нормали к плоскости ABCD можно найти как векторное произведение векторов AB и AC. Для этого нам нужны координаты точек A, B и C.

Пусть A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) и C(x₃, y₃, z₃). Тогда векторы AB и AC имеют следующие координаты: AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) AC = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁)

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC: N = AB × AC = (y₂ - y₁)(z₃ - z₁) - (z₂ - z₁)(y₃ - y₁), (z₂ - z₁)(x₃ - x₁) - (x₂ - x₁)(z₃ - z₁), (x₂ - x₁)(y₃ - y₁) - (y₂ - y₁)(x₃ - x₁)

Заметим, что точка K лежит на прямой AK, а прямая AK проходит через начало координат, поэтому вектор AK будет иметь те же координаты, что и точка K.

Вектор AK = (x₄, y₄, z₄)

Так как AK перпендикулярна плоскости ABCD, вектор AK должен быть перпендикулярен вектору нормали N. Это означает, что их скалярное произведение должно быть равно нулю:

AK · N = x₄(y₂ - y₁)(z₃ - z₁) - x₄(z₂ - z₁)(y₃ - y₁) + y₄(z₂ - z₁)(x₃ - x₁) - y₄(x₂ - x₁)(z₃ - z₁) + z₄(x₂ - x₁)(y₃ - y₁) - z₄(y₂ - y₁)(x₃ - x₁) = 0

Теперь у нас есть уравнение, включающее неизвестные x₄, y₄ и z₄. Решив это уравнение, мы найдем координаты точки K, а расстояние от K до плоскости ABCD будет равно модулю вектора AK.

Для нахождения рас