Question

радиус вписанный в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности катетов. Найдите отношение большего катета к меньшему

Answer 1

радиус вписанный в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности катетов. Найдите отношение большего катета к меньшему

Answer 2

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, где a > b. Радиус вписанной окружности равен половине разности катетов:

r = (a - b) / 2

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике выполняется:

a^2 = b^2 + r^2

Заменим значение r:

a^2 = b^2 + ((a - b) / 2)^2

a^2 = b^2 + (a^2 - 2ab + b^2) / 4

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

4a^2 = 4b^2 + a^2 - 2ab + b^2

3a^2 = 3b^2 - 2ab

3a^2 + 2ab = 3b^2

Поделим обе части уравнения на a^2:

3 + (2b/a) = 3(b/a)^2

3(b/a)^2 - 2(b/a) - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно b/a, используя квадратное уравнение:

(b/a) = [-(-2) ± √((-2)^2 - 43(-3)))] / (2*3)

(b/a) = [2 ± √(4 + 36)] / 6

(b/a) = (2 ± √40) / 6

(b/a) = (1 ± √10) / 3

Таким образом, отношение большего катета к меньшему равно:

(b/a) = (1 ± √10) / 3