Question

В правильном пятиугольнике А1А2А3А4А5 выбрали точку М и опустили из нее перпендикуляры МВ1, МВ2, МВ3, МВ4, МВ5 на стороны А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А1А5 соответственно. Докажите, что А1В1+А2В2+А3В3+А4В4+А5В5=А2В1+А3В2+А4В3+А5В4+А1В5

Answer 1

Докажи по теореме о перпендикулярах

Answer 2

Для доказательства равенства А1В1 + А2В2 + А3В3 + А4В4 + А5В5 = А2В1 + А3В2 + А4В3 + А5В4 + А1В5 воспользуемся геометрическими свойствами пятиугольника.

Поскольку пятиугольник А1А2А3А4А5 является правильным, все его стороны и углы равны. Обозначим длину одной стороны пятиугольника как а.

Заметим, что каждый из отрезков А1В1, А2В2, А3В3, А4В4, А5В5 является высотой прямоугольного треугольника с гипотенузой а и катетом, равным половине стороны пятиугольника. Таким образом, длина каждого из этих отрезков равна (а/2) * cos(36°) (так как в прямоугольном треугольнике косинус угла между гипотенузой и катетом равен отношению катета к гипотенузе).

Теперь рассмотрим отрезки А2В1, А3В2, А4В3, А5В4, А1В5. Они также являются высотами прямоугольных треугольников, но с другим углом. Заметим, что угол между гипотенузой а и катетом А1А2 (или А2А3, А3А4, А4А5, А5А1) равен 72°, так как в пятиугольнике все углы равны и сумма углов в пятиугольнике равна 540°.

Таким образом, длина каждого из отрезков А2В1, А3В2, А4В3, А5В4, А1В5 равна (а/2) * cos(72°).

Поскольку cos(36°) = cos(72°) (это можно доказать с помощью тригонометрических формул), получаем, что каждый из отрезков А1В1, А2В2, А3В3, А4В4, А5В5 имеет ту же длину, что и соответствующий отрезок из А2В1, А3В2, А4В3, А5В4, А1В5.

Следовательно, сумма длин отрезков А1В1, А2В2, А3В3, А4В4, А5В5 равна сумме длин отрезков А2В1, А3В2, А4В