Question

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 8 и 10, а средняя линия равна 7.

Answer 1

Средняя линия трапеции равна (ВС+AD)/2=7.   => ВС+AD = 14.  Проведем СЕ параллельно BD. Тогда DBCE - параллелограмм и DE=BC =>

АЕ = AD+BC =14.  СЕ = BD =10.  Проведем высоту СН.

Площадь треугольника АСЕ равна площади трапеции, так как:

Sace=(1/2)*AE*CH = (1/2)*(BC+AD)*CH и  Sabcd = (1/2)*(BC+AD)*CH.  Полупериметр треугольника АСЕ: (8+10+14)/2 = 16.  Тогда по Герону площадь треугольника АСЕ равна Sace=√(p*(p-a)(p-b)(p-c)) или Sace=√(16*8*6*2)=16√6.

Ответ: Sabcd = 16√6.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для площади трапеции:

S = ((a + b) / 2) * h,

где S - площадь трапеции, a и b - длины оснований трапеции, h - высота трапеции.

Средняя линия трапеции является средним геометрическим ее оснований, поэтому можем записать:

средняя линия = (a + b) / 2.

Из этого следует, что:

a + b = 2 * средняя линия.

Также известно, что диагонали трапеции равны 8 и 10. В трапеции, диагонали разделяются пропорционально высоте. Поэтому можем записать:

a / b = h₁ / h₂,

где h₁ и h₂ - отрезки высоты, разделенные диагоналями.

Мы также знаем, что сумма диагоналей равна сумме оснований:

a + b = 8 + 10 = 18.

Теперь можем решить систему уравнений:

a + b = 18,

a / b = h₁ / h₂.

Используем второе уравнение для нахождения a:

a = (h₁ / h₂) * b.

Подставим это значение в первое уравнение:

(h₁ / h₂) * b + b = 18.

Вынесем b за скобку:

b * (1 + h₁ / h₂) = 18.

Разделим обе части на (1 + h₁ / h₂):

b = 18 / (1 + h₁ / h₂).

Теперь зная b, можем найти a:

a = 18 - b.

Итак, мы получили выражения для a и b. Теперь нам нужно найти высоту h и использовать формулу для площади трапеции:

S = ((a + b) / 2) * h.

Зная среднюю линию и диагонали, мы можем найти отношения высоты к диагоналям:

h / h₁ = h₂ / 8,

h / h₂ = h₁ / 10.

Из этих уравнений можем выразить h₁ и h₂:

h₁ = (10 * h) / h₂,

h₂ = (8 * h) / h₁.

Подставим полученные значения h₁ и h₂ в формулу для a и b:

a = 18 - (18 / (1 + h₁ / h₂)),

b = 18 / (1 + h₁ / h₂).

Теперь мы можем решить систему уравнений и найти площадь трапеции. Однако, для этого нуж