Question

Во сколько раз площадь поверхности шара, описанного около куба, больше площади поверхности шара, вписанного в этот же куб?

Answer 1

Пусть  a - ребро куба; d - диагональ куба;  d = a√3
R - радиус описанного шара;  r - радиус вписанного шара

Диаметр описанного около куба шара равен диагонали куба
2R = d = a√3    ⇒    R = a√3/2
Диаметр вписанного в куб шара равен ребру куба
2r = a    ⇒    r = a/2
Площадь поверхности описанного шара
$S_1 = 4 \pi R^2$
Площадь поверхности вписанного шара
$S_2 = 4 \pi r^2$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \pi R^2}{4 \pi r^2} = \frac{R^2}{r^2} \\ \\ S_1:S_2 = (\frac{a \sqrt{3} }{2} )^2:( \frac{a}{2} )^2= \frac{3a^2}{4} * \frac{4}{a^2} =3$

Площадь поверхности описанного шара в 3 раза больше поверхности вписанного в куб шара

Answer 2

Чтобы рассчитать отношение площадей поверхностей шара, описанного около куба, и шара, вписанного в этот же куб, нужно знать соотношение их радиусов.

Предположим, сторона куба равна "a".

Для шара, вписанного в куб, радиус будет равен половине длины стороны куба, то есть r = a/2.

Для шара, описанного около куба, радиус будет равен половине диагонали куба. Диагональ куба можно найти с помощью теоремы Пифагора в трехмерном пространстве: d = √(a^2 + a^2 + a^2) = √3a.

Теперь мы можем рассчитать отношение площадей поверхностей:

Отношение = Площадь поверхности шара, описанного около куба / Площадь поверхности шара, вписанного в куб

Отношение = 4π(√3a)^2 / 4π(a/2)^2

Упрощая выражение, получаем:

Отношение = 4(√3a)^2 / (a/2)^2 = 4 * 3a^2 / (a^2 / 4) = 12a^2 / (a^2 / 4) = 12a^2 * (4/a^2) = 48

Таким образом, площадь поверхности шара, описанного около куба, в 48 раз больше, чем площадь поверхности шара, вписанного в этот же куб.