Question

Найдите производные функций: 1) y=(7+2x)^6 2)y=корень из (3x-8)

Answer 1

1.

$y = 12 \times {(3 \times x - 8)}^{5}$

2

$\frac{3}{2 \times \sqrt{3 \times x - 8 } }$

Answer 2

1. Чтобы найти производную функции $y = (7 + 2x)^6$, мы можем использовать цепное правило дифференцирования. Применим цепное правило:

$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}$$

Где $u = 7 + 2x$.

Вычислим первую производную каждого слагаемого:

$$\frac{{dy}}{{du}} = 6(7 + 2x)^5$$

$$\frac{{du}}{{dx}} = 2$$

Теперь перемножим эти значения, чтобы получить окончательный результат:

$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}} = 6(7 + 2x)^5 \cdot 2$$

Таким образом, производная функции $y = (7 + 2x)^6$ равна $6(7 + 2x)^5 \cdot 2$.

2. Функция $y = \sqrt{3x - 8}$ может быть записана как $y = (3x - 8)^{\frac{1}{2}}$.

Для нахождения производной этой функции, мы можем использовать степенное правило дифференцирования.

Применим степенное правило:

$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2}(3x - 8)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(3x - 8)$$

Упростим степенное выражение:

$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2}(3x - 8)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(3x - 8)$$

Найдем производную $3x - 8$:

$$\frac{{d}}{{dx}}(3x - 8) = 3$$

Теперь подставим это значение обратно в формулу производной:

$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2}(3x - 8)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3$$

Таким образом, производная функции $y = \sqrt{3x - 8}$ равна $\frac{3}{2\sqrt{3x - 8}}$.