Question

Докажите,что треугольник является равнобедренным,если две его медианы равны

Answer 1

Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его медианы. Тогда треугольники AKB и ALB равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона AB общая, стороны AL и BK равны как половины боковых сторон равнобедренного треугольника, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны AK и LB равны. Но AK и LB - медианы равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам.

Answer 2

Для доказательства, что треугольник является равнобедренным, если две его медианы равны, нам потребуется использовать свойства медиан треугольника и принцип равенства треугольников.

Предположим, что у нас есть треугольник ABC, в котором медианы AM и BN равны между собой. Нам нужно доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, то есть AB = AC.

По определению медианы, медиана AM делит сторону BC пополам, а медиана BN делит сторону AC пополам. Пусть точка D является точкой пересечения медиан AM и BN.

Так как медиана AM делит сторону BC пополам, то BD = CD.

Аналогично, медиана BN делит сторону AC пополам, поэтому AD = DC.

Мы получили, что BD = CD и AD = DC, что означает, что треугольник ABD равнобедренный, так как две его стороны равны.

Теперь докажем, что AB = AC, используя принцип равенства треугольников. Рассмотрим треугольники ABD и ACD.

У нас уже есть, что BD = CD и AD = DC. Также угол B и угол C являются общими для обоих треугольников.

Таким образом, по стороне-уголу-стороне (СУС) мы можем заключить, что треугольник ABD равен треугольнику ACD.

Следовательно, AB = AC, и треугольник ABC является равнобедренным.

Таким образом, доказано, что если две медианы треугольника равны, то треугольник является равнобедренным.