Question

Пусть АА1 и ВВ1- высоты треугольника АВС. Докажите, что треугольник с вершинами в точках А1, В1 и С подобен треугольнику АВС.

Answer 1

1) Сторона СВ1 прилежит к стороне АС.
2) Сторона А1С прилежит к стороне ВС.
3) Угол АСВ = углу В1СА.
Треугольники подобны по 2м сторонам и углу между ними.

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников A1B1C и ABC, мы должны показать, что их соответствующие стороны пропорциональны.

Пусть AB, BC и AC - стороны треугольника ABC, а A1B1, B1C1 и A1C1 - стороны треугольника A1B1C.

Мы знаем, что высота, проведенная к стороне треугольника, разделяет эту сторону на два сегмента, пропорциональных соответствующим остальным сторонам треугольника.

Таким образом, мы можем записать следующие пропорции для треугольника ABC:

AB/A1B1 = AC/A1C1 -- (1) AB/B1C1 = BC/B1C1 -- (2) BC/A1C1 = AC/B1C1 -- (3)

Мы хотим доказать, что эти пропорции выполняются.

Рассмотрим пропорцию (1): AB/A1B1 = AC/A1C1

Так как АА1 и ВВ1 - высоты треугольника ABC, то по определению высоты: AB/A1B1 = AC/A1C

Таким образом, пропорция (1) выполняется.

Аналогично, рассмотрим пропорцию (2): AB/B1C1 = BC/B1C1

По определению высоты: AB/B1C1 = AC/C1B1

Таким образом, пропорция (2) также выполняется.

И наконец, рассмотрим пропорцию (3): BC/A1C1 = AC/B1C1

Из определения высоты: BC/A1C1 = AB/A1B1

Таким образом, пропорция (3) выполняется.

Так как все три пропорции (1), (2) и (3) выполняются, мы можем заключить, что треугольник A1B1C подобен треугольнику ABC.