Question

Дан треугольник ABC. На стороне AC отмечена точка K так, что AK=6 и KC=9. Найти площадь ABK и KBC, если AB=13 и BC=14.Решить нужно без теоремы Герона.

Answer 1

Сделаем построение по условию
h -высота
АС=а - основание  под высотой  h
AC=AK+KC=6+9=15 см
AC=a=15
AВ=b=13
ВC=c=14
формула  для расчета  площади треугольника АВСS=1/2*h*a
h=2S/a=2*84/15=11.2
площадь треугольника ABK
S(АВК)=1/2*h*AK=1/2*11.2*6=33.6 см2
площадь треугольника CBK
S(СВК)=1/2*h*KC=1/2*11.2*9=50.4 см2
проверка  33.6 +50.4 =84
ОТВЕТ  S(АВК) =33.6 см2  ; S(СВК) =50.4 см2

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться следующими свойствами треугольника:

1. Площадь треугольника можно вычислить, используя полупериметр и длины сторон треугольника. Для треугольника ABC полупериметр равен $s = \frac{{AB + BC + AC}}{2}$.

2. Высота, опущенная на сторону треугольника, разделяет его на два треугольника. Площадь каждого из этих треугольников равна произведению половины основания на высоту.

Сначала найдем площадь треугольника ABC. Полупериметр треугольника ABC равен:

$s = \frac{{AB + BC + AC}}{2} = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21$.

Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу Герона:

$S_{ABC} = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - AC)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$.

Теперь мы можем использовать свойство треугольника, согласно которому высота, опущенная на сторону треугольника, разделяет его на два треугольника с площадями, пропорциональными длинам оснований.

Площадь треугольника ABK равна половине произведения длины основания AB на высоту, опущенную на эту сторону. Высота треугольника ABK равна высоте треугольника ABC, так как они образуют прямой угол. Таким образом, площадь треугольника ABK равна:

$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot \frac{{S_{ABC}}}{{AC}} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot \frac{{84}}{{15}} = \frac{546}{30} = \frac{91}{5}$.

Аналогично, площадь треугольника KBC равна:

$S_{KBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{BC} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot \frac{{S_{ABC}}}{{AC}} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot \frac{{84}}{{15}} = \frac{588}{30} = \frac{98}{5}$.

Таким образом, площади треугольников ABK и KBC равны $\frac{91}{5}$ и (\frac