Question

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD проведены диагонали AC и BD. Докажите равенство площадей треугольников ABD и ACD.

Answer 1

Проводим высоты ВН и СМ на АД, ВН=СМ, Площадь АВД = 1/2 АД х ВН

Площадь АСД = 1/2 АД х СМ (ВН) Площади равны 

Answer 2

Для доказательства равенства площадей треугольников ABD и ACD в трапеции ABCD, мы можем использовать метод подобия треугольников.

Обозначим точку пересечения диагоналей AC и BD как точку E. Таким образом, у нас есть следующая ситуация:

cssCopy code
   A
  / \
 /   \
/     \

/_____
B C | | | | | | |_______| D E

Мы знаем, что в трапеции диагонали делятся пополам: AE = EC BE = ED

Теперь рассмотрим треугольники ABD и ACD. Обратите внимание, что они имеют общую высоту, так как эти треугольники лежат на одной прямой AD.

Рассмотрим соответствующие стороны треугольников: AB соответствует AC (общая сторона) BD соответствует CD (обе стороны равны, так как это диагонали трапеции) AD общая сторона для обоих треугольников

Теперь рассмотрим соответствующие высоты треугольников: BE соответствует CE (диагонали делят высоту пополам)

Таким образом, треугольники ABD и ACD подобны по двум сторонам и одному углу (по признаку подобия треугольников). Поэтому, площади этих треугольников будут пропорциональны квадратам их соответствующих сторон.

Так как BD = CD, то соответствующие квадраты сторон равны (BD^2 = CD^2).

Следовательно, площади треугольников ABD и ACD также равны, так как их соответствующие стороны равны (AB = AC) и их соответствующие квадраты сторон равны (BD^2 = CD^2).