Question

В треугольнике ABC AB=12см, BC=6см. Биссектриса внешнего угла при вершине B пересекает луч AC в точке Dтак, что CD=8см. Найдите сторону AC.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Дано:  AB=12  см , BC =6 см , CD =8 см   ; BD -биссектриса внешнего угла при вершине ∠ABC. 
-------
AC -?

DA/DC =AB/BC (свойство биссектрисы внешнего угла треугольника)
(DC+AC)/AC =AB/BC ;
(8+AC)/AC=12/6 ⇔8/AC +1 =2⇒AC =8 (см). 

ответ:  8 см . 

Answer 3

Чтобы найти сторону AC треугольника ABC, нам понадобится использовать теорему синусов.

Пусть AC = x (см).

Из теоремы синусов имеем:

AB/sin(B) = AC/sin(C)

Здесь AB = 12 см и sin(B) — синус угла B.

Также нам известно, что BD — биссектриса внешнего угла при вершине B, и CD = 8 см.

Из теоремы углов треугольника ABC мы знаем, что сумма углов при вершине треугольника равна 180 градусам. Значит, угол ABC = угол BAC + угол ACB.

Угол ABC = 180 - угол B.

Угол BAC = угол ABC/2.

Из биссектрисы BD мы знаем, что угол ABD = угол BAC и угол CBD = угол ACB.

Применяя законы синусов к треугольнику BCD, мы можем записать:

CD/sin(B) = BD/sin(ACB).

Здесь CD = 8 см, sin(B) — синус угла B, BD — биссектриса, которую мы не знаем, и sin(ACB) — синус угла ACB.

Используя ранее установленное равенство углов BAC и ACB, получаем:

CD/sin(B) = BD/sin(BAC).

Теперь мы имеем два уравнения:

AB/sin(B) = AC/sin(C) (уравнение 1) CD/sin(B) = BD/sin(BAC) (уравнение 2)

Подставим в уравнение 1 известные значения: AB = 12 см, BC = 6 см и sin(B) — синус угла B.

12/sin(B) = x/sin(C)

А из уравнения 2 подставим значения: CD = 8 см, sin(B) — синус угла B, BD — биссектриса, которую мы не знаем, и sin(BAC) — синус угла BAC.

8/sin(B) = BD/sin(BAC)

Теперь мы можем выразить sin(B) и sin(C) из уравнений 1 и 2:

sin(B) = 12x/(BC*sin(C))

sin(C) = 12x/(AB*sin(B))

Подставим эти выражения для sin(B) и sin(C) в уравнение 2:

8/(12x/(AB*sin(B))) = BD/sin(BAC)

Упростим это уравнение:

8ABsin(BAC) = 12x*BD

Используем известные значения: AB = 12 см, BD — биссектриса, которую мы не знаем, CD = 8 см и AC = x: