Question

Докажите тождество: 2 cos^2 альфа tg альфа/ sin^2 альфа - cos^2 альфа = tg 2 альфа.

Answer 1

$\frac{2cos^{2} \alpha tg \alpha }{sin^{2} \alpha -cos ^{2} \alpha } =\frac{2sin \alpha cos \alpha }{-cos2 \alpha }=-\frac{sin2 \alpha }{cos2 \alpha }=-tg2 \alpha$

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся тригонометрическими тождествами и определениями.

Известно, что тангенс альфа (tg α) равен отношению синуса альфа (sin α) к косинусу альфа (cos α):

tg α = sin α / cos α

Далее, воспользуемся следующим тригонометрическим тождеством:

cos^2 α = 1 - sin^2 α

Заменяем в исходном тождестве:

2 cos^2 α tg α / sin^2 α - cos^2 α = tg 2α

2 (1 - sin^2 α) (sin α / cos α) / sin^2 α - (1 - sin^2 α) = tg 2α

2 sin α (1 - sin^2 α) / cos α sin^2 α - 1 + sin^2 α = tg 2α

2 sin α (1 - sin^2 α) / cos α sin^2 α + sin^2 α - 1 = tg 2α

2 sin α - 2 sin^3 α / cos α sin^2 α + sin^2 α - 1 = tg 2α

2 sin α - 2 sin^3 α / cos α sin^2 α + sin^2 α - 1 = 2 sin α / (1 - cos 2α)

Умножаем обе части на (1 - cos 2α):

2 sin α - 2 sin^3 α = 2 sin α (cos α sin^2 α + sin^2 α - 1)

2 sin α - 2 sin^3 α = 2 sin α (sin^2 α (cos α + 1) - 1)

2 sin α - 2 sin^3 α = 2 sin α (sin^2 α - 1)

2 sin α - 2 sin^3 α = -2 sin^3 α

Таким образом, получаем равенство, что и требовалось доказать:

2 cos^2 α tg α / sin^2 α - cos^2 α = tg 2α