Question

Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон AB, AC, BC в точках C1, B1, A1 соответственно. Известно, что AB=9, AC=7, BC=10. Вычислите длины следующих отрезков. AC1 BA1 CB1

Answer 1

 Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки вне её –  равны.

  Примем АС1=х. Тогда АВ1=х, С1В=9-х, В1С=А1С=7-х.

  ВС=10, поэтому ВА1=ВС-А1С=10-(7-х)=3+х. Т.к. ВА1=ВС1, приравняем их значения:

9-х=3+х, откуда 6=2х, ⇒ х=3. Тогда

АС1=3,

ВА1=3+3=6,

СВ1=7-3=4.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством вписанной окружности, которая касается сторон треугольника.

По свойству касательной, отрезки, проведенные из точки касания до точек касания на сторонах, равны по длине. Обозначим эти отрезки:

AC₁ = B₁C = x, BA₁ = C₁A = y, CB₁ = A₁B = z.

Теперь воспользуемся другим свойством: если из вершины треугольника провести перпендикуляры к сторонам, то они пересекаются в одной точке - центре вписанной окружности. Обозначим центр окружности как O.

Треугольник ABC является прямоугольным, поскольку AC² + AB² = BC². Также, поскольку O лежит на перпендикуляре из вершины A к стороне BC, то AO является высотой треугольника ABC. Аналогично, BO и CO являются высотами треугольников ABC и BAC соответственно.

Таким образом, AO является медианой и высотой прямоугольного треугольника ABC, и мы можем применить теорему Пифагора:

AO² = AB² - BO², AO² = AC² - CO².

Подставим известные значения:

x² + y² = 9² - (7 - x)², x² + y² = 81 - (49 - 14x + x²), x² + y² = 81 - 49 + 14x - x², 2x² - 14x + y² = 32.

Аналогично, для высоты BO имеем:

y² + z² = 9² - (10 - y)², y² + z² = 81 - (100 - 20y + y²), y² + z² = 81 - 100 + 20y - y², 2y² - 20y + z² = -19.

Теперь применим теорему Пифагора для высоты CO:

z² + x² = 7² - (10 - z)², z² + x² = 49 - (100 - 20z + z²), x² + z² = -51 + 20z - z², x² + z² + z² - 20z = -51.

Мы получили систему уравнений:

2x² - 14x + y² = 32, 2y² - 20y + z² = -19, x² + z² + z² - 20z = -51.

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения x, y и z, которые соответствуют длинам отрезков AC₁, BA₁ и CB₁