Question

Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Длина меньшей окружности = 8пи. Найти площадь треугольника и площадь кольца

Answer 1

Радиус вписанной окр-ти:

r = 8П/2П = 4 - для правильного тр-ка он равен 1/3 высоты тр-ка.

То есть высота прав. тр-ка: h = 3r = 12

CСторона прав. тр-ка а:

a = h/sin60 = 24/кор3

Площадь прав. тр-ка:

S = (a*h)/2 = 12*24/(2кор3)=144/кор3 = 48кор3

Радиус описанной окр-ти равен (2/3)h, то есть:

R = 2r = 8

Тогда площадь кольца:

S1 = П(R^2 - r^2) = (64-16)*П = 48П

Ответ: 48кор3;  48П.

Answer 2

пусть а - длина

а меньшей окружности = 8*Пи

r = 8*Пи/2*Пи = 4
найдем сторону треугольника:

a = r*2*корень из 3 = 8 корней из 3 
R = a/корень из 3 = 8
S (треугольника) = a*a*корень из 3/4 = 48 корней из 3

S (кольца) = Пи*R*R - Пи*r*r = Пи*(64 - 16) = 48*Пи

Answer 3

Пусть R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности, a - длина стороны треугольника.

Заметим, что радиус описанной окружности равен половине стороны треугольника, а радиус вписанной окружности равен половине высоты треугольника. Так как треугольник является равносторонним, высота является медианой и делит сторону на две равные части. Таким образом, r = R/2.

Длина окружности вычисляется по формуле: длина = 2πr. Зная, что r = R/2 и длина меньшей окружности равна 8π, мы можем записать следующее уравнение:

2π(R/2) = 8π

Упростив его, получим:

R = 8

Таким образом, радиус описанной окружности R равен 8.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь треугольника = (a^2 * √3) / 4

Зная, что сторона треугольника равна 2R (дважды радиус описанной окружности), мы можем записать:

Площадь треугольника = (4R^2 * √3) / 4 = R^2 * √3 = 8^2 * √3 = 64√3

Таким образом, площадь треугольника равна 64√3.

Площадь кольца можно найти вычитанием площади вписанной окружности из площади описанной окружности. Площадь окружности вычисляется по формуле:

Площадь окружности = πR^2

Таким образом, площадь кольца равна:

Площадь кольца = πR^2 - πr^2 = π(8^2) - π(4^2) = 64π - 16π = 48π

Таким образом, площадь кольца равна 48π.