Question

Площадь боковой поверхности конуса равна 20пи см^2, а площадь его основания на 4пи см^2 меньше. Найдите объём конуса.

Answer 1

Решение во вложении. Рисунок прилагается.

Answer 2

Чтобы найти объем конуса, нам необходимо знать его радиус и высоту. Дано, что площадь боковой поверхности конуса равна 20π см². Формула для площади боковой поверхности конуса выглядит следующим образом:

S = π * r * l,

где S - площадь боковой поверхности, r - радиус основания и l - образующая конуса.

Также дано, что площадь основания конуса на 4π см² меньше площади боковой поверхности. Поэтому:

S_основания = S_боковой - 4π.

Мы можем записать это в виде уравнения:

π * r^2 = 20π - 4π.

Упрощая уравнение, получим:

π * r^2 = 16π.

Отсюда следует, что:

r^2 = 16.

Извлекая квадратный корень, получим:

r = 4.

Теперь у нас есть радиус основания. Осталось найти высоту конуса.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом, полувысотой и образующей конуса. Обозначим высоту конуса как h.

r^2 + h^2 = l^2.

Подставляем известные значения:

4^2 + h^2 = (l^2).

16 + h^2 = l^2.

Также у нас есть выражение для площади боковой поверхности:

20π = π * r * l.

Упрощая:

20 = 4l.

l = 5.

Теперь подставляем значение l в уравнение для высоты:

16 + h^2 = 5^2.

16 + h^2 = 25.

h^2 = 25 - 16.

h^2 = 9.

h = 3.

Итак, радиус основания равен 4 см, а высота конуса равна 3 см.

Наконец, найдем объем конуса с помощью формулы:

V = (1/3) * π * r^2 * h.

Подставляем известные значения:

V = (1/3) * π * 4^2 * 3.

V = (1/3) * π * 16 * 3.

V = (1/3) * π * 48.

V = 16π.

Таким образом, объем конуса равен 16π см³.