Question

В треугольнике Abc известны стороны: AB=20, BC=9 и AC=25. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно биссектрисе треугольника AM, пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что биссектрисе угла C делит пополам отрезок MN.

Answer 1

                        Решение : //////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства того, что биссектриса угла C делит пополам отрезок MN, нам понадобятся некоторые геометрические свойства и теоремы.

Пусть биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке P. Мы должны показать, что точка P является серединой отрезка MN.

Для начала, обратимся к свойству биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону пропорционально отрезками, соответствующими остальным двум сторонам треугольника. В нашем случае, это означает, что

AP/PC = AB/BC

Подставим известные значения:

AP/PC = 20/9

Заметим, что треугольники ABP и CBP подобны, так как у них соответствующие углы при вершине B равны (они прямые) и углы PAB и PBC равны, так как P находится на биссектрисе угла C.

Из подобия треугольников мы можем выразить отношение длин их сторон:

AP/AB = PC/BC

Подставим значения сторон и отношений:

AP/20 = PC/9

Получим два уравнения:

AP/PC = 20/9 (1) AP/20 = PC/9 (2)

Из уравнения (2) выразим AP:

AP = 20(PC/9)

Подставим это выражение для AP в уравнение (1):

20(PC/9)/PC = 20/9

Упростим:

20/9 = 20/9

Таким образом, мы показали, что отношение длин отрезков AP и PC равно отношению длин сторон AB и BC. Это означает, что точка P действительно делит сторону AB в отношении 20/9.

Теперь, поскольку отрезок MN параллелен стороне AB и проходит через точку P, которая делит эту сторону в отношении 20/9, мы можем заключить, что отрезок MN делится пополам точкой P.