Question

Точки А (4;-1), В (2;4), С (0;-1) являются вершинами параллелограмма ABCD. a) Найдите координаты вершины D. b) Докажите, что параллелограмм ABCD является ромбом

Answer 1

Д (-2;4)
АС=ВД не равно АВ=СД => АВСД не является ромбом
диагонали АД и ВС не пересекаются под прямым углом

Answer 2

a) Чтобы найти координаты вершины D, мы можем воспользоваться свойством параллелограмма, согласно которому диагонали параллелограмма делятся пополам.

Диагональ параллелограмма AC соединяет вершины A(4, -1) и C(0, -1). Её середина будет иметь координаты, равные среднему арифметическому координат точек A и C:

x-координата точки D: (4 + 0) / 2 = 2 y-координата точки D: (-1 + -1) / 2 = -1

Таким образом, координаты вершины D равны (2, -1).

b) Чтобы доказать, что параллелограмм ABCD является ромбом, необходимо доказать выполнение следующих условий:

1. Стороны параллелограмма ABCD должны быть равными.

2. Диагонали параллелограмма ABCD должны быть перпендикулярными и делиться пополам.

3. Рассмотрим стороны параллелограмма: AB = √[(2 - 4)^2 + (4 - (-1))^2] = √[(-2)^2 + 5^2] = √[4 + 25] = √29

BC = √[(0 - 2)^2 + (-1 - 4)^2] = √[(-2)^2 + (-5)^2] = √[4 + 25] = √29

CD = √[(2 - 0)^2 + (-1 - (-1))^2] = √[2^2 + 0^2] = √4 = 2

DA = √[(4 - 2)^2 + (-1 - (-1))^2] = √[2^2 + 0^2] = √4 = 2

Видим, что AB = BC и CD = DA, то есть стороны параллелограмма равны.

2. Рассмотрим диагонали параллелограмма: AC = √[(4 - 0)^2 + (-1 - (-1))^2] = √[4^2 + 0^2] = √16 = 4

BD = √[(2 - 2)^2 + (4 - (-1))^2] = √[0^2 + 5^2] = √25 = 5

Видим, что AC ≠ BD, значит, диагонали не равны.

Таким образом, параллелограмм ABCD не является ромбом, поскольку не выполняется одно из условий.