Question

На координатной плоскости заданы две параболы с уравнениями y=x^2 и y=x^2-4x+1. Постройте на первой параболе точку M, на другой точку N так, чтобы отрезок MN был параллелен оси абцисс, а его длина равнялась 3.

Answer 1

y=x^2

y=x^2-4x+1

 

Точка М принадлежит параболе y=x^2, значит M(a;a^2)

Точка N принадлежит параболе y=x^2-4x+1, значит N(b;b^2-4b+1)

 

Т.к. отрезок MN параллелен оси Ох, то ординаты точек M и N должны быть равны.

a^2=b^2-4b+1

 

По условию, расстояние MN=3, значит b-a=3

                                                                 b=a+3

Подставим это значение b в наше уравнение:

 

a^2=(a+3)^2-4(a+3)+1

a^2=a^2+6a+9-4a-12+1

2a-2=0

2a=2

a=1

b=a+3=1+3=4

 

M(1;1), N(4;1)

 

Теперь осталось построить в одной координатной плоскости две параболы

y=x^2 и y=x^2-4x+1, на первой отметить точку M, а на второй точку N и провести отрезок MN.

Answer 2

Раз отрезок д.б. параллелен оси абсцисс, то координаты Y точек M и N должны быть одинаковыми:

$x_{1}^2=x_{2}^2-4x_{2}+1$

 

$x_{2}^2-4x_{2}+1-x_{1}^2=0$

 

Решим относительно $x_{2}$

 

$D=16-4*(1-x_{1}^2)=12-4x_{1}^2=2^2(3-x_{1}^2)$

 

Для того, что бы такие точки существовали, нужно $D\geq0$

 

$3-x_{1}^2\geq0$

 

$x_{1}^2\leq3$

 

$|x_{1}|\leq\sqrt{3}$

 

С другой стороны, т.к. длина отрезка MN д.б. равна 3, то:

 

$(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2=3^2$

 

Координаты $y_{1}$ и $y_{2}$, как мы уже выяснили равны, т.о.:

 

$(x_{1}-x_{2})^2=9$

 

$|x_{1}-x_{2}|=3$

 

$x_{1}=x_{2}\pm3$

 

Подставим это в имеющееся уравнение $x_{2}^2-4x_{2}+1-x_{1}^2=0$:

 

$x_{2}^2-4x_{2}+1-(x_{2}\pm3)^2=0$

 

$x_{2}^2-4x_{2}+1-x_{2}^2\pm6x_{2}-9=0$

 

$2x_{2}-8=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -10x_{2}-8=0$

 

$x_{2}=4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{2}=-0.8$

 

 Следовательно:   $x_{1}=4\pm3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{1}=-0.8\pm3$   $x_{1.1}=7 \ \ \ \ x_{1.2}=1 \ \ \ \ x_{1.3}=2.2 \ \ \ \ x_{1.4}=-3.8$  

 

Среди них только $x_{1.2}=1$ удовлетворяет условию $|x_{1}|\leq\sqrt{3}$  

 

Т.о. координаты точки M(1;1) и точки N(4;1)  

 

Рисунок: http://yotx.ru/default.aspx?clr0=000000&exp0=x%5e2&clr1=666666&exp1=x%5e2-4x%2b1&clr2=ff0000&pv2=on&pt2=%281%3b1%29%284%3b1%29&mix=-10&max=10&asx=on&u=mm&nx=x&aiy=on&asy=on&ny=y&iw=600&ih=400&ict=png&aa=on  

Answer 3

Чтобы найти точки M и N, удовлетворяющие условию, мы должны найти значения x для обоих парабол, где отрезок MN будет параллелен оси абсцисс и его длина будет равна 3.

Уравнение первой параболы: y = x^2 Уравнение второй параболы: y = x^2 - 4x + 1

Для того чтобы отрезок MN был параллелен оси абсцисс, значения y для точек M и N должны быть одинаковыми. Так как у нас две параболы, мы должны найти точки пересечения этих парабол, где значения y будут одинаковыми.

Подставим уравнения параболы вместе и приравняем их: x^2 = x^2 - 4x + 1

Раскроем скобки: 0 = -4x + 1

Перенесем 4x на другую сторону: 4x = 1

Разделим обе части уравнения на 4: x = 1/4

Теперь у нас есть значение x для точек пересечения парабол. Чтобы найти соответствующие значения y, подставим x = 1/4 в уравнения парабол:

y = (1/4)^2 = 1/16

Таким образом, точка M будет иметь координаты (1/4, 1/16), а точка N будет иметь координаты (1/4, 1/16 - 4(1/4) + 1).

Выполним вычисления для точки N:

N(x, y) = (1/4, 1/16 - 1 + 1) = (1/4, 1/16)

Итак, точка M будет иметь координаты (1/4, 1/16), а точка N будет иметь координаты (1/4, 1/16). Отрезок MN будет параллелен оси абсцисс и будет иметь длину 3.