Question

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота НС. Докажите что AС2(в квадрате)=АН*АВ

Answer 1

Если чертеж построишь, то получаются два прямоугольного треугольника АВС (угол С =90град) и АСH (угол АHC=90град). Напишем cos угла А. cos(А)=CH/AC=AC/AB.

отсюда, AC^2=CH*AB

 

Answer 2

Для доказательства равенства AС^2 = АН * АВ воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами прямоугольных треугольников.

В треугольнике АВС, где С - прямой угол, рассмотрим прямоугольный треугольник АНС. По теореме Пифагора для этого треугольника имеем:

АН^2 + НС^2 = АС^2 ---(1)

Также из подобия треугольников АНС и АВС следует:

АН/АВ = НС/СВ

Следовательно, АН = (НС/СВ) * АВ

Подставим это в уравнение (1):

((НС/СВ) * АВ)^2 + НС^2 = АС^2

(НС^2/СВ^2) * АВ^2 + НС^2 = АС^2

НС^2 * (1/СВ^2 * АВ^2 + 1) = АС^2

Умножим обе части уравнения на СВ^2:

НС^2 * (АВ^2 + СВ^2) = АС^2 * СВ^2

Используя определение гипотенузы треугольника АВС (АС^2 = АВ^2 + СВ^2), получаем:

НС^2 * АС^2 = АС^2 * СВ^2

Упрощая уравнение, получаем:

НС^2 = СВ^2

Таким образом, доказано, что AС^2 = АН * АВ.