Question

В основании пирамиды лежит прямоугольник, все боковые грани наклонены к основанию под углом 45°, высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

Решение во вложении.

Ответ: 288

Answer 2

Чтобы найти объем пирамиды, нужно умножить площадь основания на высоту и разделить полученное значение на 3.

Для начала найдем площадь основания пирамиды, которая является прямоугольником. Пусть длина прямоугольника будет a, а ширина - b.

Так как все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°, то сторона основания a и высота пирамиды h образуют прямоугольный треугольник. Значит, a и h являются катетами этого треугольника. По теореме Пифагора получаем:

a^2 + h^2 = c^2,

где c - гипотенуза треугольника, равная стороне прямоугольника b.

Так как сторона прямоугольника b равна a, уравнение примет вид:

a^2 + h^2 = b^2.

Так как угол между стороной прямоугольника и гипотенузой треугольника равен 45°, то a = h.

Подставим a в уравнение:

a^2 + a^2 = b^2, 2a^2 = b^2, a^2 = b^2 / 2, a = sqrt(b^2 / 2), a = b / sqrt(2).

Теперь можем найти площадь основания пирамиды:

S = a * b = (b / sqrt(2)) * b = b^2 / sqrt(2).

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = (S * h) / 3 = ((b^2 / sqrt(2)) * 6) / 3 = (6b^2) / (3 * sqrt(2)) = 2b^2 / sqrt(2).

Так как a = b, объем пирамиды можно выразить только через сторону прямоугольника a:

V = 2a^2 / sqrt(2) = 2a^2 * sqrt(2) / 2 = a^2 * sqrt(2).

Таким образом, объем пирамиды равен a^2 * sqrt(2).