Question

В треугольнике АВС проведена средняя линия DE (D принадлежит AC, E принадлежит BC). Найдите отношение площадей : треугольника АВС и трапеции АВСD

Answer 1

В треугольнике АВС проведена средняя линия DE (D принадлежит AC, E принадлежит BC). Найдите отношение площадей : треугольника АВС и трапеции  ABED .        * * * не    АВСD  * * *
--------------------
S(∆ABC) / S( ABED)  - ?

DE || AB и  DE =AB/2 (свойство средней линии)
Из    ∆DEC ~∆ABC⇒ S( ∆DEC) / S(∆ABC) = (DE/AB)² =(1/2)²=1/4 , где  
DE/ AB =k _ коэффициент подобия .   ⇒
---
S(∆DEC) = (1/4)*S(∆ ABC)  ⇔
S(ABED ) =S(∆ABC)-S( ∆DEC) =S(∆ABC) - (1/4)*S( ∆ABC) =(3/4)*S(∆ ABC) .
S(∆ABC)  / S(ABED ) =  4/3 .

ответ :  4 : 3 .

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством средней линии в треугольнике. Средняя линия параллельна основанию и её длина равна половине длины основания. Обозначим точку пересечения средней линии DE с боковой стороной AB как F.

Так как DE является средней линией, то мы знаем, что отрезок DF равен половине отрезка AC. Обозначим длину отрезка AC как a и длину отрезка DF как b. Тогда DF = AC/2 = a/2.

Также, так как DE параллельна основанию BC, то треугольники BDE и ABC подобны друг другу по принципу угол-угол-угол. Из подобия треугольников можно установить следующее отношение длин сторон:

BD/AB = DE/AC

Поскольку треугольники BDE и ABC подобны, то это отношение также применимо к их площадям:

Площадь треугольника BDE / Площадь треугольника ABC = (BD/AB)^2 = (a/2a)^2 = 1/4

Таким образом, отношение площадей треугольника АВС и трапеции АВСD равно 1/4.