Question

Докажите, что треугольник, у которого две высоты являются также его биссектрисами ,есть равносторонний треугольник.( чертежа нет)

Answer 1

Две высоты являюшиеся биссектрисами возможны только в равностороннем треугольнике

Answer 2

Для доказательства этого факта воспользуемся свойствами треугольников.

Предположим, что у нас есть треугольник ABC, у которого высоты AD и BE являются его биссектрисами, где D лежит на стороне BC, а E лежит на стороне AC.

Для начала, докажем, что AD является биссектрисой треугольника ABC. По определению биссектрисы, она делит угол BAC пополам. Предположим, это не так, и AD не является биссектрисой. В этом случае существовал бы другой отрезок, например, AF, который также делит угол BAC пополам. Тогда было бы две различные прямые (AD и AF), которые пересекаются на прямой AC и проходят через вершину A, что противоречит аксиоме о единственности прямой, проходящей через две точки. Таким образом, AD действительно является биссектрисой треугольника ABC.

Аналогично, можно доказать, что BE является биссектрисой треугольника ABC.

Теперь мы знаем, что AD и BE являются биссектрисами треугольника ABC. Это означает, что они делят соответствующие углы треугольника на равные части.

Поскольку AD и BE являются высотами треугольника, они перпендикулярны к сторонам треугольника. Предположим, что треугольник ABC не является равносторонним.

Если треугольник ABC не является равносторонним, то все его стороны различны. Допустим, сторона AB является наибольшей стороной треугольника. Тогда точка D, которая является основанием высоты AD, должна лежать на стороне BC в пределах отрезка BC, так как высота перпендикулярна к основанию. Аналогично, точка E, являющаяся основанием высоты BE, должна лежать на стороне AC в пределах отрезка AC.

Поскольку AD и BE делят углы треугольника на равные части, они не могут лежать на сторонах BC и AC соответственно в пределах отрезков BC и AC. Это противоречие говорит о том, что наше предполож