Question

Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, выходящих из той же вершины

Answer 1

Пусть ABC - треугольник, BM - медиана. Достроим его до параллелограмма ABCD так, что AB=CD; BC=AD. BD - диагональ, при этом BD=2BM. Предположим, что 2BM=BD>AB+BC. Так как BC=AD, из этого следует, что BD>AB+AD, но тогда для треугольника ABD не выполняется неравенство треугольника, противоречие. Значит, такого быть не может.

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC, где медиана AM выходит из вершины A, и стороны треугольника обозначены как a, b и c. Чтобы доказать, что медиана меньше полусуммы сторон, мы можем использовать неравенство треугольника.

В треугольнике ABC, по определению медианы, точка M делит сторону BC пополам, то есть BM = MC. Поэтому у нас есть два треугольника: ABM и AMC.

Применяя неравенство треугольника к треугольнику ABM, мы получаем: AM + BM > AB.

Аналогично, применяя неравенство треугольника к треугольнику AMC, мы получаем: AM + MC > AC.

Заметим, что BM = MC, поэтому можно записать: AM + BM > AB, AM + BM > AC.

Суммируя эти два неравенства, получаем: 2(AM + BM) > AB + AC.

Поскольку AB + AC = BC (сумма двух сторон треугольника равна третьей стороне), мы можем переписать неравенство как: 2(AM + BM) > BC.

Делим обе части неравенства на 2: AM + BM > BC / 2.

Так как BM = MC, можем записать: AM + MC > BC / 2.

Но BC / 2 - это половина длины стороны BC, то есть полусумма сторон, выходящих из вершины A.

Таким образом, получаем: AM + MC > полусумма сторон, выходящих из вершины A.

Но по определению медианы AM = MC, поэтому мы можем записать: 2AM > полусумма сторон, выходящих из вершины A.

Деля обе части неравенства на 2, получаем: AM > полусумма сторон, выходящих из вершины A / 2.

Таким образом, мы доказали, что медиана AM больше половины полусуммы сторон, выходящих из вершины A.