Question

В треугольнике ABC биссекстрисы внутреннего угла A и внешнего угла при вершине C пересекаются в точке D, причём /_ ADC = 20. Найдите угол ABC

Answer 1

ΔАВС .Биссектрисы  AD ∩ DC=D.  Пусть AD ∩ BC=M .
Обозначим : Т.к. AD - биссектриса ,то ∠ BAM = ∠MAC = α ;
                    ∠BCD = ∠ DCE = β  ( СЕ - прдолжение стороны АС)
                     ∠ ACB = ω     ;  ∠ ADC = 20° ( по условию задачи )
При решении используем свойства углов треугольника :  1)В любом треугольнике сумма внутренних углов = 180°  и 2) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних , не смежных с ним..
 1 .)Δ АВС : ∠А= 2 α ,  ∠АСВ = ω , ∠ АВС = х ( Его надо найти по уловию)
 2 )Δ DMC :  ∡ MDC=20° , ∠BCD = β
 3 )∠Внешний ∠ВСЕ = 2 β   -   CD - биссектриса ∠ВСЕ
4/  УГЛы   ∠АСВ  и ∠ВСЕ  - смежные.
 1)Δ АВС :  2 α + ω + х = 180°  
2) Δ DMC :  20° + β+ ∠ DMC = 180°   ⇒   ∠DMC = 180°- (20°+ β ) 
     
3) ∠BCE =∠CAB +∠ABC ⇒ 2 β = 2 α +x    ⇒   x = 2 β  - 2 α = 2 (β - α )
4) ω + 2 β = 180°

ΔАDC : Сумма углов : 20°+α + (β+ω)=180°
                                      20°+ α + β + 180°-2β=180°
                                        20° +α  - β =0   ⇒  β - α =20°
 но  х= 2 (β - α) ⇒   х= 2 (20°) = 40 °
                                                                Ответ : ∠АВС =40°