Question

Медиана BM и биссектриса AP треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС втрое больше длины стороны АВ. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AMK

Answer 1

Решение задачи начинаем с рисунка.
Постараемся сделать его по возможности соразмерным данным задачи.

АС=3 АВ
АМ=МС - так как медиана ВМ делит АС пополам,
∠ВАР=∠РАС, так как АВ биссектриса и делит угол А пополам. ( В решении равенство углов не пригодится).
Для того, чтобы проще было следить за решением, обозначим  площадь ᐃ АВС=S

Площади треугольников с равной высотой и равными основаниями равны.
Так как АМ=МС, а высота у них одна и та же,

площадь ᐃ АВМ=площади ᐃ МВС=0,5 S

 

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную
сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон 

Следовательно,ВР:РС=АВ:АС=1:3

Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).

Площади Δ ВАР и Δ РАС, имеющих общую высоту, относятся как 1:3
Площадь АВС=S =4 площади треугольника ВАР.

Площадь Δ ВАР=1/4S=0,25 S
⇒ площадь Δ РАС =S- 0,25 S = 0, 75 S

Рассмотрим треугольник АВМ.
АК- биссектриса угла АВМ

 

АМ=АС:2=3 АВ:2=1,5 АВ

Отсюда ВК:КМ=АВ:1,5 АВ  (смотри свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника)
ВК:КМ=1:1,5

Площадь Δ АВМ= 0,5 S
0,5 S= площадь треугольника МАК+КАВ=2,5 площ Δ КАВ
Площадь Δ BАК=0,5 S:2,5= 0,2 S
Площадь Δ МАК=1,5 площ. КАВ =0,2*1,5= 0,3S
Площ. МКРС=пл РАС - пл МАК

Площ. МКРС=0,75 S - 0,3 S= 0,45 S
Площадь Δ МАК : площ. МКРС=0,3 S : 0,45 S= 10/15=2/3