Question

Автоматическая мойка может принять на обслуживание одновременно 3 автомашины. В среднем машины прибывают через 2 мин, а средняя продолжительность мойки – 15 мин. В очереди могут находиться не более 4 машин. Определить вероятность того, что в системе находится хотя бы одна машина, и загруженность одной установки для мойки машин.

Answer 1

Вероятность 56 %....

Answer 2

Давайте рассмотрим эту задачу поэтапно:

1. Вероятность того, что в системе находится хотя бы одна машина:

Пусть A - событие "в системе находится хотя бы одна машина". Для того чтобы определить вероятность A, мы можем рассмотреть событие, обратное A, то есть отсутствие машин в системе.

Пусть B - событие "в системе нет машин". Вероятность события B равна вероятности того, что нет машин в первой установке и второй установке и третьей установке.

Вероятность того, что в одной установке нет машин, равна вероятности того, что ни одна машина не прибудет в течение 2 минут (по условию среднего времени прибытия машин). Пусть это событие обозначается как C.

Вероятность события C равна (1 - вероятность прибытия машины за 2 минуты), т.е. P(C) = 1 - 1/2 = 1/2.

Так как машины независимо могут находиться в одной из трех установок, вероятность события B равна P(B) = P(C) * P(C) * P(C) = (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8.

Теперь мы можем определить вероятность события A (хотя бы одна машина в системе):

P(A) = 1 - P(B) = 1 - 1/8 = 7/8.

Таким образом, вероятность того, что в системе находится хотя бы одна машина, составляет 7/8 или примерно 0.875 (округлено до трех знаков после запятой).

2. Загруженность одной установки для мойки машин:

Загруженность одной установки определяется как отношение времени, когда установка занята, к общему времени наблюдения.

Давайте определим загруженность одной установки за период наблюдения в 1 час (60 минут):

а) Время обслуживания одной машины: 15 минут.

б) Вероятность того, что установка занята: это вероятность того, что в системе находится хотя бы одна машина, которую мы уже определили в предыдущем ответе. Таким образом, P(занята) = P(A) = 7/8.

Загруженность одной установки за 1 час = Время обслуживания одной машины * Вероятность того, что установка занята

Загруженность одной установки за 1 час = 15 минут * (7/8) = 105/8 минут ≈ 13.125 минут (округлено до трех знаков после запятой).

Таким образом, загруженность одной установки для мойки машин составляет примерно 13.125 минут на протяжении 1 часа.