Question

Cпутник Нептуна Тритон Имеет радиус орбиты, равный радиусу орбиты Луны вокруг Земли, но делает один оборот вокруг Нептуна за 6 суток. Во сколько раз отличаются массы Нептуна и масса Земли? Какая из них больше?

Answer 1

Масса Нептуна в 17 раз больше массы Земли.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся законом всемирного тяготения, который гласит, что период обращения спутника вокруг планеты зависит от массы планеты и радиуса орбиты спутника. Формула для периода обращения спутника T связана с массой планеты M и радиусом орбиты R следующим образом:

T = 2π * √(R³ / GM),

где G - гравитационная постоянная.

Для Луны вокруг Земли период обращения составляет около 27.3 суток, радиус орбиты примем за R_Земли, а массу Земли обозначим за M_Земли.

Для спутника Тритона вокруг Нептуна период обращения T_Тритона равен 6 суток, а радиус орбиты примем за R_Луны, а массу Нептуна за M_Нептуна.

Известно, что R_Луны = R_Земли и T_Тритона = 6 суток.

Таким образом, для Тритона:

6 = 2π * √(R_Луны³ / GM_Нептуна).

Для Луны:

27.3 = 2π * √(R_Земли³ / GM_Земли).

Мы знаем, что R_Луны = R_Земли, поэтому можно записать:

√(R_Луны³ / GM_Нептуна) / √(R_Земли³ / GM_Земли) = 6 / 27.3.

Далее, упростим выражение:

√(R_Луны³ / GM_Нептуна) / √(R_Земли³ / GM_Земли) = 2 / 9.1.

Теперь избавимся от корней, возведя обе части уравнения в квадрат:

(R_Луны³ / GM_Нептуна) / (R_Земли³ / GM_Земли) = (2 / 9.1)².

Так как R_Луны = R_Земли, они сокращаются:

GM_Земли / GM_Нептуна = (2 / 9.1)².

Теперь найдем отношение масс:

M_Нептуна / M_Земли = GM_Земли / GM_Нептуна.

Так как гравитационная постоянная G одинакова для всех планет, она сокращается:

M_Нептуна / M_Земли = 1 / (2 / 9.1)².

M_Нептуна / M_Земли = 1 / (0.21978021978021978)² ≈ 20.57.

Таким образом, масса Нептуна примерно в 20.57 раз больше, чем масса Земли.