Question

Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Ио совершает оборот вокруг планеты за 755 суток, а большая полуось его орбиты – 23700 тыс. км. Дано: Т1 = 755 суток а1 = 23700·105 км Найти: МП Решение: Для решения задачи используем формулу (2.4). Сравним обращение Синопе вокруг Юпитера с обращением Луны вокруг Земли. Период обращения Луны Т=27,32 суток, а среднее расстояние Луны от центра Земли а = 384 тыс. км. = 3,84·105 км. Определим массу Юпитера по отношению к массе Земли. Массу Земли примем за единицу (М = 1).

Answer 1

Ответ:   Масса Юпитера ≈ 306 масс Земли

Объяснение:  Дано:

Период обращения Луны Т1 = 27,3 суток

Радиус орбиты Луны а1 = 384 400 = 3,844*10^5 км

Период обращения Ио  T2 =755 суток

Радиус орбиты Ио  а2 = 23700000 км = 2,37*10^7 км

Масса Юпитера - Мю

Масса Земли      - Мз

Найти во сколько раз масса Юпитера больше массы Земли   Мю/Мз - ?

Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них, и имеет вид:

Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³, здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центрального массивного тела; М1 и М2 - массы центральных массивных небесных тел; m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел; а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.

Так как обычно массы спутников малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует, что Мю/Мз = Т1²* а2³/Т2²*а1³ =

27,3² * (2,37*10^7)³/755² * (3,844*10^5) ³ ≈ 306

Answer 2

Используем формулу (2.3):

(Т1/Т2)^2 = (a1/a2)^3*(M1/M2),

где Т2 – период обращения спутника, а2 – большая полуось орбиты спутника, М2 – масса планеты (Юпитер), M1 – масса спутника (Ио).

Перенесем М2 в левую часть и возведем все в куб:

M2 = (T2/T1)^2*(a2/a1)^3*M1

Для Ио: T2 = 755 суток, a2 = 421600 км = 4,216·105 км.

Подставляем и получаем:

MЮ = (T2/T1)^2*(a2/a1)^3*MИ = (755/27.32)^2*(4.216·105/23700·105)^3*MЗ,

где МЗ – масса Земли.

MЮ = 317,9*MЗ

Масса Земли составляет MЗ = 5,97·1024 кг, поэтому

MЮ = 317,9*5,97·1024 кг = 1,898·1027 кг.

Ответ: масса Юпитера MЮ = 1,898·1027 кг.