Question

ДАВС ~ A DFK з коефіцієнтом подібності k =3. УДАВС : А =54°, ZB = 65°, C =61°. Знайдіть кути Д DFK​

Answer 1

Ответ: < D = 75°

Объяснение:

Если Δ ABC ~ Δ DFK , то :

< A = < D ,  < B = < F  ,  <C = < K

< F = < B = 45°   ,   < K = 60°

Сумма внутренних углов в треугольнике равна 180, значит :

< D = 180° - (< F + < K) = 180° - (45° + 60°) = 180° - 105° = 75°

Answer 2

Для знаходження кутів DFK ми можемо скористатися законом синусів. Загалом, закон синусів гласить:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$

де a, b, і c - довжини сторін трикутника, а A, B і C - відповідні кути проти цих сторін.

У нашому випадку:

1. Відомо, що АУДАВС - це прямокутний чотирикутник (оскільки один з кутів рівний 90 градусів).

2. З коефіцієнтом подібності k = 3, це означає, що сторона ДА в 3 рази більше за сторону АУ, тобто ДА = 3 * АУ.

3. Діагональ ДФК є продовженням сторони ДА, тобто ДФ = ДА * k = 3 * АУ * 3 = 9 * АУ.

4. Також відомо, що кут АУД = 90 градусів, тобто протилежний кут в точці ДФК буде прямим кутом (90 градусів).

Зараз ми маємо всі дані, щоб застосувати закон синусів. Для цього ми можемо використовувати трикутник ДФК, де відомі сторони і кут проти однієї зі сторін:

$\frac{DF}{\sin(A)} = \frac{FK}{\sin(B)}$

де

• DF = 9 * АУ (знайдено раніше)
• A = 54 градуси (даний)
• B - кут DFK (що ми шукаємо)
• FK - не відомо.

Зараз ми можемо підставити відомі значення і розв'язати для кута DFK:

$\frac{9 * АУ}{\sin(54°)} = \frac{FK}{\sin(B)}$

Потрібно виразити sin(B):

$\sin(B) = \frac{FK * \sin(54°)}{9 * АУ}$

Тепер, щоб знайти кут B (DFK), можемо використовувати обернену функцію синуса (sin^(-1)):

$B = \sin^(-1)\left(\frac{FK * \sin(54°)}{9 * АУ}\right)$

Зараз потрібно знайти значення FK. Ми можемо використовувати той самий закон синусів для трикутника AУВ:

$\frac{AU}{\sin(61°)} = \frac{BV}{\sin(65°)}$

де

• AU - одна зі сторін АУ (не важливо яка, так як обидві однакові)
• BV = FK (це одна зі сторін DFK)

Ми можемо виразити FK:

$FK = \frac{AU * \sin(65°)}{\sin(61°)}$

Зараз ми можемо підставити значення FK в наше рівняння для кута DFK:

$B = \sin^(-1)\left(\frac{\frac{AU * \sin(65°)}{\sin(61°)} * \sin(54°)}{9 * АУ}\right)$

Знаючи значення кута АУД (90 градусів) і відповідних значень синусів, можна розрахувати кут B.