Question

Помогите продолжить задачу (я сделал несколько действий, дальше не знаю что). Найдите наименьшее ЧЕТНОЕ натуральное число n, при котором сумма 1+2+3+...+n делится на 64. Мои действия: S=n*(n+1) 2 S должно делится на 64, значит S представило в виде 64*k 64k=n*(n+1) 2 K=n*(n+1) 128 Дальше я не знаю что делать.

Answer 1

Чтобы продолжить решение задачи, можно заметить, что сумму 1 + 2 + 3 + ... + n можно представить в виде формулы:

s = n*(n+1)/2

Таким образом, уравнение 64k = n*(n+1) + 128 можно переписать в виде:

n*(n+1) + 128 = 64k

Заметим, что 128 делится на 64, поэтому можно вынести 64 за скобки:

n*(n+1) = 64(k - 2)

Теперь нужно найти наименьшее четное натуральное число n, при котором n*(n+1) делится на 64. Рассмотрим два случая:

1) Если n четное, то n = 2m, где m - натуральное число. Подставим это в уравнение:

2m*(2m+1) = 64(k - 2)

4m^2 + 2m = 64(k - 2)

Упрощаем:

2m*(2m + 1) = 64(k - 2) m*(2m + 1) = 32(k - 2)

Из этого уравнения видно, что m должно делиться на 32, чтобы левая часть была четной. То есть, наименьшее подходящее значение для m будет m = 32.

2) Если n нечетное, то n = 2m + 1, где m - натуральное число. Подставим это в уравнение:

(2m + 1)(2m + 2) = 64(k - 2)

(2m + 1)*(m + 1) = 32(k - 2)

Теперь заметим, что (2m + 1) и (m + 1) не могут оба быть четными, иначе результат произведения не будет делиться на 2 (то есть, нечетное число не может быть произведением двух четных). Это значит, что одно из них должно делиться на 32, чтобы левая часть была четной. Наименьшее подходящее значение для m будет m = 31.

Таким образом, наименьшее четное натуральное число n, при котором сумма 1 + 2 + 3 + ... + n делится на 64, будет:

1) Если n четное: n = 2m = 2*32 = 64 2) Если n нечетное: n = 2m + 1 = 2*31 + 1 = 63

Итак, наименьшее четное натуральное число n, при котором сумма 1 + 2 + 3 + ... + n делится на 64, будет 64.