Question

Помогите решить интеграл(2x-4)dx интеграл x^3(X+1)dx интеграл (5 cosx - 2sinx)dx

Answer 1

Давайте решим каждый из этих интегралов по очереди:

1. Интеграл (2x - 4)dx: Для решения этого интеграла, мы можем применить правило линейности интеграла. Оно гласит, что интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от каждой из этих функций. Таким образом, мы можем разделить интеграл на два отдельных интеграла: ∫ (2x - 4)dx = ∫ 2x dx - ∫ 4 dx Теперь мы можем решить каждый из этих интегралов отдельно: ∫ 2x dx = x^2 + C1, где C1 - произвольная постоянная. ∫ 4 dx = 4x + C2, где C2 - также произвольная постоянная. Объединяя оба интеграла, получаем: ∫ (2x - 4)dx = x^2 + 4x + C, где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.

Итак, интеграл (2x - 4)dx равен x^2 + 4x + C.

2. Интеграл x^3(x + 1)dx: Для решения этого интеграла, мы можем использовать правило степенного интеграла. Оно гласит, что интеграл от x^n равен (x^(n+1))/(n+1), где n - целое число, отличное от -1. Применим это правило к каждому слагаемому: ∫ x^3(x + 1)dx = ∫ (x^4 + x^3)dx Теперь мы можем решить каждый из этих интегралов отдельно: ∫ x^4 dx = (1/5)x^5 + C1, где C1 - произвольная постоянная. ∫ x^3 dx = (1/4)x^4 + C2, где C2 - также произвольная постоянная. Объединяя оба интеграла, получаем: ∫ (x^4 + x^3)dx = (1/5)x^5 + (1/4)x^4 + C, где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.

Итак, интеграл x^3(x + 1)dx равен (1/5)x^5 + (1/4)x^4 + C.

3. Интеграл (5 + cosx - 2sinx)dx: Для решения этого интеграла, мы можем использовать известные интегралы элементарных функций. Интеграл от константы равен произведению этой константы на переменную x. Интегралы от синуса и косинуса также известны: ∫ 5 dx = 5x + C1, где C1 - произвольная постоянная. ∫ cos(x) dx = sin(x) + C2, где C2 - также произвольная постоянная. ∫ -2sin(x) dx = 2cos(x) + C3, где C3 - также произвольная постоянная. Объединяя все интегралы, получаем: ∫ (5 + cosx - 2sinx)dx = 5x + sin(x) - 2cos(x) + C, где C = C1 + C2 + C3 - произвольная постоянная.

Итак, интеграл (5 + cosx - 2sinx)dx равен 5x + sin(x) - 2cos(x) + C.

Обратите внимание, что в каждом решении добавлены произвольные постоянные C1, C2, C3 и C, так как при интегрировании мы теряем информацию о конкретной константе.